確率質量関数：5つの例

離散確率変数と数学的期待値-II

すでにおなじみのように 離散確率変数、これは、シーケンス内で可算数の可能な値をとる確率変数です。 離散確率変数に関連するXNUMXつの重要な概念は、離散確率変数の確率と分布関数です。名前を次のような確率と分布関数に制限します。

確率質量関数（pmf）

                世界 確率質量関数 は離散確率変数の確率であるため、 離散確率変数  x₁、 バツ₂、 バツ₃、 バツ₄、……、 バツ_k  対応する確率P（x₁）、P（x₂）、P（x₃）、P（x₄）……、P（x_k）は、対応する確率質量関数です。

具体的には、X = aの場合、P（a）= P（X = a）はそのpmfです。

ここから先は使用します 離散確率変数の確率質量関数 確率。 確率のすべての確率特性は、陽性のような確率質量関数に明らかに適用可能であり、すべてのpmfの合計はXNUMXつになります。

累積分布関数（cdf）/分布関数

  として定義される分布関数

F（x）= P（X <= x）

確率質量関数を持つ離散確率変数の場合、確率変数の累積分布関数（cdf）です。

及び そのような確率変数の数学的期待値 私たちが定義したのは

数学的期待の結果のいくつかを見ることができます

1. xの場合₁、X₂、X₃、X₄、…..は、それぞれの確率P（x₁）、P（x₂）、P（x₃）、P（x₄）…実数値関数gの期待値は次のようになります。

例：次の確率質量関数の場合、E（X³)

ここでg（X）= X³

そう、

E (X³) = (-1)³ <em>0.2 + (0)³</em> 0.5 + (1)³ * 0.3

元³）= 0.1

n次の場合も同様に、次のように記述できます。

これはn次モーメントとして知られています。

2. aとbが定数の場合、

E [aX + b] = aE [X] + b

これは簡単に理解できます

= aE [X] + b

期待値の分散。

                μで表される平均の場合、期待値に関してvar（X）またはσで表される離散確率変数Xの分散は次のようになります。

Var（X）= E [（X-μ）²]

これはさらに単純化できます

Var（X）= E [（X-μ）²]

= E [X²] – 2μ² + μ²

= E [X²] – μ²

これは、分散を確率変数のXNUMX乗の期待値と確率変数の期待値のXNUMX乗の差として記述できることを意味します。

つまり、Var（X）= E [X²] –（E [X]）²

例：  サイコロが投げられたとき、分散を計算します。

溶液：  ここでは、サイコロが投げられたときに各面の確率が

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

したがって、分散を計算するために、確率変数とその二乗の期待値は次のようになります。

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

E [X²] = 1²。（1/6）+2²。（1/6）+3²。（1/6）+4²。（1/6）+5²。（1/6）+6².(1/6) =(1/6)(91)

分散を次のように取得しました

Var（X）= E [X²] –（E [X]）²

so

変数（X）=（91/6）-（7/2）² = 35/12

一つ 分散の重要なアイデンティティ is

1. 任意の定数aとbについて、次のようになります。

Var（aX + b）= a² Var（X）

これは簡単に表示できます

Var（aX + b）= E [（aX +b-aμ-b）² ]

= E [a²（X –μ）²]

=a² E [（X-μ）²]

=a² Var（X）

ベルヌーイ確率変数

      スイスの数学者ジェームズベルヌーイは、 ベルヌーイ確率変数 ランダム実験のXNUMXつの結果としてのみ成功または失敗のいずれかを持つ確率変数として。

すなわち、結果が成功の場合X = 1

結果が失敗の場合X = 0

したがって、ベルヌーイ確率変数の確率質量関数は次のようになります。

p（0）= P {X = 0} = 1-p

p（1）= P {X = 1} = p

ここで、pは成功の確率であり、1-pは失敗の確率です。

ここで、1-p = qを取ることができます。ここで、qは失敗の確率です。

このタイプの確率変数は明らかに離散的であるため、これは離散確率変数のXNUMXつです。

例：コインを投げる。

二項確率変数

成功または失敗としての結果のみを持つランダム実験の場合、n回の試行を行うため、成功または失敗のいずれかが発生するたびに、そのようなn回の試行のランダム実験の結果を表す確率変数Xは次のように知られます。 二項確率変数.

                言い換えると、pが単一のベルヌーイ試行で成功する確率質量関数であり、q = 1-pが失敗の確率である場合、n回の試行でイベント 'xまたはi'回発生する確率は次のようになります。

or

例： XNUMX枚のコインをXNUMX回投げて、頭を上げることが成功で、残りの発生が失敗である場合、その確率は次のようになります。

同様の方法で、このような実験を計算できます。

世界 二項確率変数 名前を持っています 二項式 それはの拡大を表すので

n = 1の代わりに置くと、これはベルヌーイの確率変数になります。

例： XNUMX枚のコインが投げられ、結果が独立して取られた場合、頭の数の確率はどうなるでしょうか。

ここで、確率変数Xを頭の数とすると、n = 5で、成功の確率が½の二項確率変数になります。

したがって、二項確率変数の確率質量関数に従うことにより、次のようになります。

例：

ある会社では、不良の確率は生産から0.01です。 同社は製品を10個パックで製造および販売しており、顧客には1個の製品のうち最大10個が不良品であるという返金保証を提供しているため、販売された製品パックの何パーセントを交換する必要があります。

ここで、Xが欠陥製品を表す確率変数である場合、それはn = 10およびp = 0.01の二項型であり、パックが返される確率は次のようになります。

例： （チャック・ア・ラック/運命の輪）ホテルの特定の運命のゲームでは、プレーヤーは1から6までの数字のいずれかに賭け、次に1つのサイコロを振って、数字がプレーヤーによって2回、3回、またはXNUMX回賭けられたように見える場合多くのユニットが出現する場合、XNUMXつのサイコロでXNUMXユニット、XNUMXつのサイコロでXNUMXユニットの場合、ゲームがプレーヤーにとって公平であるかどうかを確率で確認します。

サイコロと詐欺のテクニックに不公平な手段がないと仮定すると、サイコロの結果を独立して仮定することにより、各サイコロの成功の確率は1/6であり、失敗は次のようになります。

 1-1 / 6なので、これはn = 3の二項確率変数の例になります。

したがって、最初に、プレーヤーが勝つときにxを割り当てて、勝つ確率を計算します。

ここで、ゲームがプレーヤーにとって公平であるかどうかを計算するために、確率変数の期待値を計算します

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

これは、プレーヤーが216回プレイしたときにゲームに負ける確率が17であることを意味します。

結論：

   この記事では、離散確率変数、確率質量関数、分散の基本的なプロパティのいくつかについて説明しました。 さらに、離散確率変数のいくつかのタイプを見てきました。連続確率変数を開始する前に、離散確率変数のすべてのタイプとプロパティをカバーしようとします。さらに読みたい場合は、次の手順を実行してください。

シャウムの確率と統計の概要

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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