モーメント母関数:13の重要な事実

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モーメント母関数は、平均、標準偏差、分散などを含む確率変数のモーメントを生成する非常に重要な関数であるため、モーメント母関数のみを使用して、基本モーメントとより高いモーメントを見つけることができます。この記事では、さまざまな離散確率変数と連続確率変数のモーメント母関数が表示されます。 モーメント母関数(MGF)は、M(t)で表される数学的期待値の助けを借りて定義されているため、

との定義を使用して 離散確率変数と連続確率変数の期待値 この関数は

これは、tの値をゼロに置き換えることにより、それぞれのモーメントを生成します。 これらのモーメントは、たとえば最初のモーメントの場合、このモーメント母関数を微分することによって収集する必要があります。または、次のようにXNUMX回微分することによって取得できることを意味します。

これは、差別化が期待の下で交換可能であり、次のように書くことができるというヒントを与えます

及び

t = 0の場合、上記のモーメントは次のようになります。

及び

一般的に、私たちはそれを言うことができます

それゆえ

二項分布のモーメント母関数||二項分布のモーメント母関数||二項分布のMGF ||モーメント母関数を使用した二項分布の平均と分散

二項分布である確率変数Xのモーメント母関数は、パラメーターnおよびpを次のように使用して二項分布の確率関数に従います。

これは二項定理による結果であり、t = 0の値を微分して配置します。

これは二項分布の平均または最初のモーメントであり、同様にXNUMX番目のモーメントは次のようになります。

したがって、二項分布の分散は次のようになります。

これは二項分布の標準的な平均と分散であり、同様に、このモーメント母関数を使用して見つけることができるより高いモーメントもあります。

のモーメント母関数 ポアソン 配布||ポアソン 分布モーメント母関数||のMGF ポアソン 分布||モーメント母関数を使用したポアソン分布の平均と分散

 パラメータLambdaで分布されたポアソンである確率変数Xがある場合、この分布のモーメント母関数は次のようになります。

今これを差別化すると

これは与える

これにより、ポアソン分布の平均と分散が同じになります。

指数分布のモーメント母関数||指数関数 分布モーメント母関数||のMGF 指数関数 分布||平均と分散 指数関数 モーメント母関数を使用した分布

                定義に従うことによる指数確率変数Xのモーメント母関数は次のとおりです。

ここで、tの値はパラメータラムダよりも小さいので、これを微分すると次のようになります。

瞬間を提供します

はっきりと

これは、指数分布の平均と分散です。

正規分布のモーメント母関数||標準l分布モーメント母関数||のMGF 標準l分布||平均と分散 ノーマル モーメント母関数を使用した分布

  連続分布の積率母関数も離散分布の積率母関数と同じであるため、標準確率密度関数を使用した正規分布の積率母関数は次のようになります。

この統合は、次のように調整することで解決できます。

積分の値は1であるため、標準正規変量のモーメント母関数は次のようになります。

これから、関係を使用して、一般的な正規確率変数のモーメント母関数を見つけることができます。

こうして

だから差別化は私たちに

こうして

したがって、分散は次のようになります。

確率変数の合計のモーメント母関数

世界 モーメント発生機能 確率変数の合計のは、独立確率変数XとYのそれぞれの独立確率変数のモーメント母関数の積に等しいという重要な特性を与えます。ランダム変数X + Yの合計の積率母関数は次のようになります。

モーメント発生機能
合計のMGF

ここで、各XとYのモーメント母関数は、 数学的期待値の特性。 連続して、さまざまな分布のモーメント母関数の合計が見つかります。

二項確率変数の合計

確率変数XとYが、それぞれパラメーター(n、p)と(m、p)を使用して二項分布で分布している場合、それらの合計X + Yのモーメント母関数は次のようになります。

ここで、合計のパラメーターは(n + m、p)です。

ポアソン確率変数の合計

独立確率変数XとYの合計の分布と、ポアソン分布によって分布されるそれぞれの平均は、次のように見つけることができます。

どこ

はポアソン確率変数X + Yの平均です。

正規確率変数の合計

     独立したと考える 正規確率変数 XとYとパラメータ

次に、確率変数X + Yとパラメーターの合計

したがって、モーメント母関数は次のようになります。

これは、加法的な平均と分散を持つモーメント母関数です。

確率変数の乱数の合計

確率変数の乱数の合計のモーメント母関数を見つけるために、確率変数を仮定しましょう

ここで、確率変数X1,X2、…は任意のタイプの確率変数のシーケンスであり、独立していて同じように分布しているため、モーメント母関数は次のようになります。

これは、微分におけるYのモーメント母関数を次のように与えます。

それゆえ

同様の方法でXNUMX回の微分が得られます

与える

したがって、分散は次のようになります。

カイ二乗確率変数の例

n自由度のカイXNUMX乗確率変数のモーメント母関数を計算します。

解決策:次のn自由度を持つカイXNUMX乗確率変数を検討します。

標準正規変数のシーケンスの場合、モーメント母関数は次のようになります。

だからそれは与える

平均が0で分散がσの正規密度2 1に統合

これは、n自由度の必要なモーメント母関数です。

一様確率変数の例

与えられたパラメータnとpで二項分布する確率変数Xのモーメント母関数を見つけます。 条件付きの 区間(0,1)の確率変数Y = p

解決策:Yが与えられた確率変数Xのモーメント母関数を見つける

二項分布を使用すると、sin Yは区間(0,1)の一様確率変数です。

関節モーメント母関数

n個の確率変数Xの関節モーメント母関数1,X2、…、バツn

ここでt1,t2、……tn は実数です。結合モーメント母関数から、個々のモーメント母関数を次のように見つけることができます。

定理:確率変数X1,X2、…、バツn 共同メモ生成機能がある場合にのみ独立している

証明:与えられた確率変数Xを仮定しましょう1,X2、…、バツn 独立している

ここで、関節モーメント母関数が方程式を満たすと仮定します。

  • 確率変数Xを証明する1,X2、…、バツn 独立していると、結合モーメント母関数が一意に結合分布を与えるという結果が得られます(これは証明が必要なもうXNUMXつの重要な結果です)。したがって、確率変数が独立していることを示す結合分布が必要です。したがって、必要十分条件が証明されます。

関節モーメント母関数の例

1.確率変数X + YとXYの関節モーメント母関数を計算します

解決策:確率変数X + Yの合計と確率変数XYの減算は、独立確率変数XとYと同様に独立しているため、これらの結合モーメント母関数は次のようになります。

このモーメント母関数が同時分布を決定するので、これからX + YとXYを独立した確率変数にすることができます。

2.実験のために、確率pと平均λでポアソン分布によって分布されたカウントされたイベントとカウントされていないイベントの数を考慮し、カウントされたイベントとカウントされていないイベントの数がそれぞれの平均λpとλ(1-p)で独立していることを示します。

解決策:Xをイベントの数と見なし、Xを考慮しますc カウントされたイベントの数なので、カウントされていないイベントの数はXXです。c、関節モーメント生成機能がモーメントを生成します

そして二項分布のモーメント母関数によって

そしてこれらから期待を取り除くことは与えるでしょう

結論:

モーメント母関数の標準的な定義を使用することにより、二項、ポアソン、正規などのさまざまな分布のモーメントが議論され、これらの確率変数の離散または連続の合計は、それらのモーメント母関数とジョイントモーメント母関数のいずれかで得られました。適切な例。さらに読む必要がある場合は、以下の本を参照してください。

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