数学的期待値と確率変数に関する11の事実

数学的期待値と確率変数    

     数学的期待値は、確率論において非常に重要な役割を果たします。以前のいくつかの記事ですでに説明した数学的期待値の基本的な定義と基本的な性質については、さまざまな分布と分布のタイプについて説明した後、次の記事でさらに詳しく説明します。数学的期待値の高度な特性。

確率変数の合計の期待値 | 確率変数の関数の期待 | 同時確率分布の期待

     離散的な性質の確率変数の数学的期待値は

そして連続的なものは

ここで、確率変数XとYの場合、離散の場合はジョイントを使用します 確率質量関数 p(x、y)

確率変数 X と Y の関数の期待値は

連続の場合、同時確率密度関数 f(x, y) を使用すると、確率変数 X と Y の関数の期待値は次のようになります。

g がこれら XNUMX つの確率変数の連続形式の加算である場合、

確率変数 X と Y の場合

X>Y

それから期待も

Covid-19 病院は、長さ L の道路上の点 X に一様に配置されています。患者のために酸素を運ぶ車両は、場所 Y にあり、これも道路上に均一に分散されています。Covid-19 病院間の予想距離を見つけます。独立している場合は酸素運搬車。

溶液:

X と Y の間の予想距離を見つけるには、E { | XY | }

X と Y の同時密度関数は次のようになります。

から

これに従うことにより、私たちは持っています

今、積分の値は

したがって、これらの XNUMX 点間の予想距離は、

サンプル平均の期待

  確率変数 X のシーケンスのサンプル平均として1、 バツ2、 ………、 バツn 分布関数 F とそれぞれの期待値を μ とすると

したがって、この標本平均の期待値は

これは、サンプル平均の期待値も μ であることを示しています。

ブールの不等式

                ブールの 不等式は、プロパティの助けを借りて取得することができます 期待の、確率変数Xが次のように定義されていると仮定します

コラボレー

ここでi 's はランダム イベントです。これは、ランダム変数 X がイベント A の数の発生を表すことを意味します。i と別の確率変数 Y

はっきりと

X>=Y

E[X] >= E[Y]

そしてそうです

今、確率変数 X と Y の値を取る場合、これらの期待は

および

これらの期待値を上記の不等式に代入すると、ブールの不等式は次のようになります。

二項確率変数の期待値 | 二項確率変数の平均

  我々は、 二項確率変数 は、n 回の独立試行の成功回数を示す確率変数であり、成功確率は p、失敗確率は q=1-p です。

X = X1 + X2+……。+ Xn

どこ

ここにこれらのXiベルヌーイ そして期待は

したがって、X の期待値は

負の二項確率変数の期待値 | 負の二項確率変数の平均

  r 回の成功を収集するのに必要な試行回数を表す確率変数 X を考えると、そのような確率変数は負の二項ランダム変数として知られており、次のように表すことができます。

ここで各Xi は、合計 i 回の成功を得るために、(i-1) 回目の成功後に必要な試行回数を示します。

これらのXのそれぞれからi 幾何確率変数を表し、幾何確率変数の期待値は

so

これは 期待 負の二項確率変数の。

超幾何確率変数の期待値 | 超幾何確率変数の平均

単純な実生活の例の助けを借りて取得する超幾何確率変数の期待値または平均は、m が数学である N 個の本を含む棚から n 個の本がランダムに選択された場合、数学の本 X は選択された数学の本の数を表し、X は次のように書くことができます。

コラボレー

so

=n/N

与える

これは、そのような超幾何確率変数の平均です。

予想試合数

   これは、期待に関連する非常に一般的な問題です。部屋の真ん中に帽子を投げる N 人の人がいて、その後、各人がランダムに XNUMX つの帽子を選び、予想される人数マッチ数を X とすることで得られる自分の帽子を選んだ人は、

どこ

各人は N 個の帽子から任意の帽子を選択する平等な機会があるため、

so

つまり、平均して XNUMX 人が自分の帽子を選択します。

事象の和集合の確率

     期待値の助けを借りて、イベントの和集合の確率を取得しましょう。イベント Ai

これで私たちは取る

したがって、これに対する期待は

と期待値プロパティを使用して展開

私たちが持っているので

数学的期待値
数学的期待: 事象の和集合の確率

および

so

これは、次のような和集合の確率を意味します。

確率的手法を使用した期待値からの境界

    S が有限集合で、f が S の要素上の関数であり、

ここで、f(s) の期待値によってこの m の下限を取得できます。ここで、「s」は S の任意のランダム要素であり、その期待値は次のように計算できます

ここで、最大値の下限として期待値を取得します

最大 - 最小アイデンティティ

 最大 最小同一性は、任意の数 x に対するこれらの数のサブセットの最小値に対する一連の数値の最大値です。i

これを示すために、x を制限します。i 区間 [0,1] 内で、区間 (0,1) 上の一様確率変数 U と事象 Ai 一様変数 U が x より小さいためi つまり

U が XNUMX 未満の場合、上記のイベントの少なくとも XNUMX つが発生するため、x の値i

および

明らかに私たちは知っています

U がすべての変数よりも小さい場合、すべてのイベントが発生し、

確率が与える

和集合の確率の結果は次のようになります

確率のこの包除式に従って

検討する

これは与える

から

つまり、

  • したがって、次のように書くことができます

期待値を取って、最大値と部分最小値の期待値を次のように見つけることができます。

結論:

さまざまな分布の観点からの期待と期待のいくつかとの相関 確率論 概念は、この記事の焦点であり、さまざまな種類の確率変数の期待値を取得するためのツールとしての期待値の使用を示しています。さらに読む必要がある場合は、以下の本を参照してください。

数学に関するその他の記事については、 数学のページ.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

シェルドンロスによる確率の最初のコース

シャウムの確率と統計の概要

ROHATGIとSALEHによる確率と統計の紹介

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