2D座標ジオメトリ:11の重要な事実

2D座標幾何学における軌跡

遺伝子座はラテン語です。 これは、「場所」または「場所」という単語から派生しています。 複数の軌跡はLociです。

軌跡の定義:

ジオメトリでは、「軌跡」は、図形または形状のXNUMXつ以上の指定された条件を満たす点のセットです。 現代の数学では、与えられた幾何学的条件を満たす平面上で点が移動する場所または経路は、点の軌跡と呼ばれます。

軌跡は、ジオメトリで頂点または角度が内部にある形状を除いて、線、線分、および規則的または不規則な曲線形状に対して定義されます。 https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

軌跡の例:

線、円、楕円、放物線、双曲線など。これらすべての幾何学的形状は、点の軌跡によって定義されます。

軌跡の方程式:

軌跡上のすべての点の座標によって満たされる幾何学的特性または条件の代数形式は、それらの点の軌跡の方程式として知られています。

軌跡の方程式を取得する方法:

平面上の移動点の軌跡の方程式を見つけるには、以下に説明するプロセスに従います。

(i)まず、平面上の移動点の座標を(h、k)と仮定します。

(ii)次に、与えられた幾何学的条件または特性から、hとkを使用して代数式を導き出します。

(iii)XNUMX番目に、上記の式でhとkをそれぞれxとyに置き換えます。 現在、この方程式は、平面上の移動点の軌跡の方程式と呼ばれています。 (x、y)は移動点の現在の座標であり、軌跡の方程式は常にxとy、つまり現在の座標の形式で導出する必要があります。

軌跡についての概念を明確にするためのいくつかの例を次に示します。

Locusで解決された4種類以上の問題:

1問題: If P 与えられたXNUMXつの点から等距離にあるXY平面上の任意の点である A(3,2) および B(2、-1) 同じ平面上で、グラフを使用して点Pの軌跡と軌跡の方程式を見つけます。

溶液: 

軌跡
グラフ表示

の軌跡上の任意の点の座標が P XY平面上にあります (h、k).

PはAとBから等距離にあるので、次のように書くことができます。

AからのPの距離= BからのPの距離

または |PA|=|PB|

または、(h2 -6時間+9 + k2 -4k + 4)=(h2 -4時間+4 + k2 + 2k + 1)——–両側に正方形を取ります。

または、h2 -6時間+13 + k2 -4k -h2+ 4h-5-k2 -2k = 0

または、-2h -6k + 8 = 0

または、h + 3k -4 = 0

または、h + 3k = 4 ——–(1)

これはhとkのXNUMX次方程式です。

ここで、hとkをxとyに置き換えると、式(1)は、直線を表すx + 3y = 4の形式でxとyのXNUMX次方程式になります。

したがって、XY平面上の点P(h、k)の軌跡は直線であり、軌跡の方程式はx + 3y = 4です。 (回答)


2問題: もし ポイント R XY平面上を次のように移動します RA:RB = 3:2 ここで、点の座標 A および B   (-5,3) および (2,4) それぞれ同じ平面上で、点Rの軌跡を見つけます。

Rの軌跡の方程式はどのような種類の曲線を示していますか?

溶液: 与えられた点の軌跡上の任意の点の座標を仮定しましょう R XY平面上にある (m、n).

Asper与えられた条件 RA:RB = 3:2,

我々は持っています、

(AからのRの距離)/(BからのRの距離)= 3/2

または、(m2 + 10m + 34 + n2 -6n)/(m2 -4m + n2 -8n + 20)= 9/4 ———–両側に正方形を取ります。

または、4(m2 + 10m + 34 + n2 -6n)= 9(m2 -4m + n2 -8n + 20)

または、4メートル2 + 40m + 136 + 4n2 -24n = 9m2 -36m + 9n2 -72n + 180)

または、4メートル2 + 40m + 136 + 4n2 -24n – 9m2 + 36m-9n2 + 72n-180 = 0

または、-5m2 + 76m-5n2+ 48n-44 = 0

または、5(m2+n2)-76m + 48n + 44 = 0 ———-(1)

これはmとnのXNUMX次方程式です。

ここで、mとnをxとyに置き換えると、式(1)は5(x)の形式でxとyのXNUMX次方程式になります。2+y2)-76x + 48y + 44 = 0ここで、xの係数2 そして、2 は同じで、xyの係数はゼロです。 この方程式は円を表します。

したがって、XY平面上の点R(m、n)の軌跡は円であり、軌跡の方程式は次のようになります。

5(x2+y2)-76x + 48y + 44 = 0 (回答)


3問題: (θ,aCosθ,bSinθ) のすべての値は、XY 平面上を移動する点 P の座標です。 P の軌跡の式を求めます。

溶液: (h、k)をXY平面上のPの軌跡上にある任意の点の座標とします。

次に、質問に従って、私たちは言うことができます

h= a Cosθ

または、 h/a = Cosθ —————(1)

k = b Sinθ

または、 k/b = Sinθ —————(2)

ここで、式(1)と(2)の両方を二乗し、加算すると、次の式が得られます。

h2/a2 +k2/b2 = Cos2θ + サイン2θ

または、h2/a2 +k2/b2 = 1(Cos以降2θ + サイン2三角法では θ =1)

したがって、点Pの軌跡の方程式はxです。2/a2 +および2/b2 = 1。 (回答)


問題4: Qの座標が次の場合、XY平面上を移動する点Qの軌跡の方程式を見つけます。

ここで、u は変数パラメーターです。

解決策: XY平面上を移動しながら、与えられた点Qの軌跡上の任意の点の座標を(h、k)とします。

次に、h = およびk =

つまり、h(3u + 2)= 7u-2およびk(u-1)= 4u + 5

つまり、(3h-7)u = -2h-2および(k-4)u = 5 + k

すなわちu = —————(1)

およびu = —————(2)

ここで、式(1)と(2)を等しくすると、次のようになります。

または、(-2h-2)(k-4)=(3h-7)(5 + k)

または、-2hk + 8h-2k + 8 = 15h + 3hk-35-7k

または、-2hk + 8h-2k-15h-3hk + 7k = -35-8

または、-5hk-7h + 5k = -43

または、5hk + 7h-5k = 43

したがって、Qの軌跡の方程式は5xy + 7x-5y = 43です。


自分で練習するための答えを含むLocusのその他の例:

問題5: θ を変数、u を定数とすると、XNUMX つの直線 x Cosθ + y Sinθ = u と x Sinθ- y Cosθ = u の交点の軌跡の式を求めます。 (回答x2+y2 = 2u2 )

問題6: 軸間の直線 x Sinθ + y Cosθ = t の線分の中点の軌跡の式を求めます。 (Ans。1/ x2+ 1 /y2 = 4 / t2 )

問題7: 点PがXY平面上を移動している場合、三角形の面積は2つの点(1、-3,4)と(XNUMX)を持つ点によって作られます。 (回答5x-y = 11)


式「三角形の重心」の基本的な例  2D座標幾何学で

セントロイド: 三角形の2つの中央値は、常に三角形の内部領域にある点で交差し、任意の頂点から反対側の中点まで1:XNUMXの比率で中央値を分割します。 この点は三角形の図心と呼ばれます。   

問題1:頂点(-1,0)、(0,4)、および(5,0)を持つ三角形の重心を見つけます。

溶液:  私たちはすでに知っています、

                                             If  斧1,y1 B(x2,y2) および C(x3,y3) 三角形の頂点になり、 G(x、y) 図心になります 三角形の、次に座標 G  

および

この式を使用すると、 

(x1,y1) ≌(-1,0)すなわち x1= -1、 y1=0;

(x2,y2) ≌(0,4)すなわち   x2= 0、 y2= 4および

(x3,y3) ≌(5,0)すなわち   x3= 5、 y3=0

(数式チャートを参照)

グラフ表示

したがって、重心Gのx座標は、   

すなわち

つまり、x=4/3

                  および 

重心Gのy座標、  

すなわち

つまり、y=4/3

したがって、与えられた三角形の重心の座標は次のようになります。 。 (回答)

上記の問題1で説明した手順を使用してさらに練習するために、さらに回答済みの問題を以下に示します:-

問題2: 点(-3、-1)、(-1,3))、および(1,1)に頂点がある三角形の重心の座標を見つけます。

Ans。 (-1,1)

問題3: 頂点が(5,2)、(10,4)、(6、-1)の三角形の重心のx座標は何ですか?

Ans。

問題4: 三角形の5,9つの頂点は、(2,15)、(11,12)、および(XNUMX)です。この三角形の重心を見つけます。

Ans。 (6,12)


起源のシフト / 軸の移動-2D座標ジオメトリ

原点のシフトとは、軸の方向を変更せずに原点を新しいポイントにシフトすることを意味します。つまり、新しい軸は同じ平面内の元の軸と平行のままです。 この軸の移動または原点のシフトプロセスによって、幾何学的形状の代数方程式に関する多くの問題が単純化され、簡単に解決されます。

「原点のシフト」または「軸の移動」の式を、グラフ表示で以下に説明します。

式:

Oが原点である場合、P(x、y)はXY平面内の任意の点であり、Oは点Pの座標が(x)になる別の点O '(a、b)にシフトされます。1,y1)新しい軸Xを持つ同じ平面内1Y1  、Pの新しい座標は

x1 = x-a

y1 = y- b

明確にするためのグラフィック表現: グラフに従ってください

解決したものはほとんどない 「原点のシフト」の公式に関する問題:

問題-1: 同じ平面に3,1つの点(5,4)と(3,1)があり、原点が点(5,4)にシフトされ、新しい軸が元の軸と平行になる場合は、の座標を見つけます。新しい原点と軸に関する点(XNUMX)。

溶液: 上記の「原点のシフト」の式と比較すると、新しい原点O '(a、b)≌(3,1)、つまりa = 3、b = 1と必要な点P、(x、y)があります。 ≌(5,4)すなわちx = 5、y = 4

今なら(x1,y1)点P(5,4)の新しい座標になり、式xに従って1 = xaおよびy1 = yb、

取得します、x1 = 5-3およびy1 = 4-1

すなわちx1 = 2およびy1 =3

したがって、点(5,4)に必要な新しい座標は(2,3)です。 (回答)

問題-2: 原点を同じ平面内の点に移動し、軸を互いに平行にした後、点(5、-4)の座標は(4、-5)になります。新しい原点の座標を見つけます。

溶液: ここで、「原点のシフト」または「軸の移動」の式を使用すると、古い原点と新しい原点および軸に対する点Pの座標は、それぞれ(x、y)≌(5、-4)と言えます。 x = 5、y = -4および(x1,y1)≌(4、-5)すなわち  x1= 4、y1= -5

次に、新しい原点の座標を見つける必要があります O '(a、b) すなわち a =?、b =?

Asper式、

x1 = x- a

y1 = y- b

すなわち a= xx1 および b= yy1

または、 a=5-4および b= -4-(-5)

または、 a=1と b= -4 + 5

または、 a=1と b= 1

したがって、O '(1,1)は新しい原点になります。つまり、新しい原点の座標は(1,1)になります。 (回答)

2D座標幾何学における「点の共線性(XNUMX点)」の式の基本的な例

問題1:  ポイント(1,0)、(0,0)、および(-1,0)が同一線上にあるかどうかを確認します。

溶液:  私たちはすでに知っています、

                                            If  斧1,y1 B(x2,y2) および C(x3,y3) 任意のXNUMXつの同一線上の点である場合、それらによって作成される三角形の面積はゼロでなければなりません。 三角形の面積は ½[x1 (y2– y3)+ x2 (y3– y1)+ x3 (y1-y2)] =0

(数式チャートを参照)

この式を使用すると、

(x1,y1) ≌(-1,0)すなわち   x1= -1、 y1= 0;

(x2,y2) ≌(0,0)すなわち   x2= 0、 y2= 0;

(x3,y3) ≌(1,0)すなわち    x3= 1、 y3= 0

グラフ表示

したがって、三角形の面積は= |½[x1 (y2  y3)+ x2 (y3  y1)+ x3 (y1-y2)] | すなわち.

(LHS)= |½[-1(0-0)+ 0(0-0)+ 1(0-0)] |

= |½[(-1)x0 + 0x0 + 1×0] |

= |½[0+ 0 + 0] |

= |½x0|

= 0(RHS)

したがって、それらの与えられた点によって作られる三角形の面積はゼロになります。これは、それらが同じ線上にあることを意味します。

したがって、指定された点は同一線上の点です。 (回答)

上記の手順を使用してさらに練習するために、さらに回答された問題を以下に示します。 問題1:-

問題2: ポイント(-1、-1)、(0,0)、(1,1)が同一線上にあるかどうかを確認します。

Ans。 あり

問題3: (-3,2)、(5、-3)、(2,2)のXNUMX点にXNUMX本の線を引くことはできますか?

Ans。いいえ

問題4: 線で結ばれた点(1,2)、(3,2)、(-5,2)が座標平面で三角形を形成できるかどうかを確認します。

Ans。 いいえ

______________________________

式「三角形の内心」の基本的な例 2D座標幾何学で

内心:これは、三角形の内側に収まる三角形の最大の内接円の中心であり、三角形の内角のXNUMXつの二等分線の交点でもあります。

問題1: 辺のある三角形の頂点は、それぞれ(-2,0)、(0,5)、(6,0)です。 三角形の内心を見つけます。

溶液: 私たちはすでに知っています、

If  斧1,y1 B(x2,y2) および C(x3,y3) 頂点、BC = a、CA = bおよびAB = cであり、 G '(x、y) 三角形の内心になり、

の座標 NS'  

および         

(数式チャートを参照)

私たちが持っている式に従って、

(x1,y1) ≌(-4,0)すなわち  x1= -4、 y1=0;

(x2,y2) ≌(0,3)すなわち  x2= 0、 y2= 3;

(x3,y3) ≌(0,0)すなわち   x3= 0、 y3=0

私たちは今、

a =√[(x2-x1)2+(y2-y1)2 ]

または、a =√[(0 + 4)2+(3-0)2 ]

または、a =√[(4)2+(3)2 ]

または、a =√(16 + 9)

または、a =√25

または、 a = 5 ——————(1)

b =√[(x1-x3)2+(y1-y3)2 ]

または、b =√[(-4-0)2+(0-0)2 ]

または、b =√[(-4)2+(0)2 ]

または、b =√(16 + 0)

または、b =√16

または、 b = 4 ——————–(2)

c =√[(x3-x2)2+(y3-y2)2 ]

または、c =√[(0-0)2+(0-3)2 ]

または、c =√[(0)2+(-3)2 ]

または、c =√(0 + 9)

または、c =√9

または、 c = 3 ——————–(3)

そしてx1+ bx2 + cx3 =(5 X(-4))+(4 X 0)+(3 X 6)

= -20 + 0 + 18

または、 ax1+ bx2 + cx3 = -2 ——————-(4)

ay1+ by2+サイ3 =(5 X 0)+(4 X 3)+(3 X 0)

= 0 + 12 + 0

または、 ay1+によって2+サイ3 = 12 ——————–(5)

a + b + c = 5 + 4 + 3

または、 a + b + c = 12 ——————(6)

上記の式を使用する (1)、(2)、(3)、(4)、(5) および (6) の値を計算できます x および y from

または、x = -2/12

または、x = -1/6

および

または、y = 12/12

または、y = 1

したがって、与えられた三角形の内心に必要な座標は次のとおりです。 (-1 / 6、1)。 (回答)

上記の問題1で説明した手順を使用してさらに練習するために、さらに回答済みの問題を以下に示します:-

問題2: 点(-3、-1)、(-1,3))、および(1,1)に頂点がある三角形の内心の座標を見つけます。

問題3: 頂点が(0,2)、(0,0)、(0、-1)の三角形の内心のx座標は何ですか?

問題4: 三角形の1,1つの頂点は、(2,2)、(3,3)、および(XNUMX)です。 この三角形の内心を見つけます。


上へスクロール