同時分布確率変数：11の重要な事実

By DR。 MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

コンテンツ

同時分布確率変数
同時分布関数| 共同累積確率分布関数| 同時確率質量関数| 同時確率密度関数
同時分布の例
独立確率変数と同時分布
独立した同時分布の例
同時分布による独立確率変数の合計
独立した指数確率変数の合計
独立したガンマ確率変数の合計
独立した指数確率変数の合計
独立した正規確率変数の合計| 独立した正規分布の合計
独立したポアソン確率変数の合計
独立した二項確率変数の合計

同時分布確率変数

同時分布確率変数は、これらの確率変数に対して同時分布する確率を持つ複数の確率変数です。言い換えると、共通の確率を持つ異なる結果が同時分布確率変数または同時分布として知られている実験では、このようなタイプの状況が発生します。チャンスの問題を扱っている間頻繁に。

同時分布関数| 共同累積確率分布関数| 同時確率質量関数| 同時確率密度関数

確率変数XおよびYの場合、分布関数または結合累積分布関数は次のようになります。

これは、方程式のレンダリングされた形式です。これを直接編集することはできません。右クリックすると、画像を保存するオプションが表示されます。ほとんどのブラウザでは、画像をデスクトップまたは別のプログラムにドラッグできます。

ここで、同時確率の性質は、離散または連続の確率変数XおよびYの性質に依存し、XおよびYの個々の分布関数は、次のようにこの同時累積分布関数を使用して取得できます。

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Yについても同様です

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XとYのこれらの個々の分布関数は、同時分布が検討されている場合、周辺分布関数として知られています。これらの分布は、次のような確率を取得するのに非常に役立ちます

さらに、確率変数 X と Y の同時確率質量関数は次のように定義されます。

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XとYの個々の確率質量関数または密度関数は、次のような同時確率質量関数または密度関数を使用して取得できます。離散確率変数 as

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連続確率変数に関して、同時確率密度関数は次のようになります。

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ここで、Cは任意のXNUMX次元平面であり、連続確率変数の同時分布関数は次のようになります。

この分布関数からの確率密度関数は、微分することによって取得できます。

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同時確率密度関数からの周辺確率

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as

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および

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それぞれ確率変数XとYに関して

同時分布の例

3冊の本がランダムに取られた場合、4冊の数学、5冊の統計、3冊の物理学の本を含む一連の本からの数学と統計の本の数を表す確率変数XとYの同時確率

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関節を見つける確率質量関数 15％の子供がいない、20％の子供がいる、1％の35人の子供、2％の30人の子供がいる家族のサンプルの場合、このサンプルからランダムに子供を男の子または女の子に選択しますか？

次の定義を使用して見つける同時確率

同時分布確率変数 — 同時分布確率変数：例

これは、次のように表形式で説明できます。

同時分布確率変数 — 同時分布確率変数：同時分布の例

確率を計算する

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確率変数XとYの場合、同時確率密度関数は次の式で与えられます。

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連続確率変数の同時確率の定義の助けを借りて

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与えられた同時密度関数は、与えられた範囲の最初の確率は次のようになります。

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同様の方法で確率

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そして最後に

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確率密度関数が次の場合、確率変数XおよびYの商X / Yの同時密度関数を見つけます。

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関数X / Yの確率密度関数を見つけるために、最初に同時分布関数を見つけ、次に得られた結果を微分します。

したがって、同時分布関数の定義と与えられた確率密度関数によって、次のようになります。

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したがって、この分布関数をaに関して微分することにより、密度関数は次のようになります。

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ここで、aはゼロから無限大の範囲内です。

独立確率変数と同時分布

メディア共同配布 XNUMXつの確率変数XとYの確率は、次の場合に独立していると言われます。

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ここで、AとBは実際のセットです。すでにイベントに関しては、独立確率変数はイベントが独立している確率変数であることがわかっています。

したがって、aとbの任意の値に対して

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独立確率変数XおよびYの同時分布または累積分布関数は次のようになります。

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離散確率変数XとYを考慮すると、

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から

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連続確率変数についても同様です

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独立した同時分布の例

病院の特定の日に、入力された患者がパラメータλでポアソン分布され、男性患者の確率がp、女性患者の確率が（1-p）である場合、病院に入力された男性患者と女性患者の数がパラメータλpおよびλ（1-p）を持つ独立したポアソンランダム変数ですか？

確率変数XとYによって男性と女性の患者数を考慮し、次に

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X + Yは、ポアソン分布である病院に入る患者の総数であるため、

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男性患者の確率はpであり、女性患者は（1-p）であるため、合計修正数から正確に男性または女性は二項確率を示します。

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これらのXNUMXつの値を使用すると、上記の同時確率は次のようになります。

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したがって、男性と女性の患者の確率は

$P{ X=i } =e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!} \sum_{j} e^{-\lambda (1-p)} \frac{\left [ \lambda (1-p) \right ]^{j}}{j!} = e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!}$

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および

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これは、両方がパラメーターλpおよびλ（1-p）を持つポアソン確率変数であることを示しています。

2.各クライアントとその人が一様分布に続いて午後12時から午後1時の間に到着するかのように、人がクライアントの会議でXNUMX分以上待たなければならない確率を見つけます。

確率変数XとYを考慮して、その人とクライアントの12時から1時までの時間を示し、XとYが一緒になる確率は次のようになります。

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計算する

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ここで、X、Y、およびZは、区間（0,1）にわたる一様確率変数です。

ここで確率は

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一様分布の場合、密度関数

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与えられた範囲のためにそう

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同時分布による独立確率変数の合計

確率密度関数を連続確率変数として持つ独立変数XとYの合計、累積分布関数は次のようになります。

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これらの独立した合計の確率密度関数に対してこの累積分布関数を微分することにより、

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これらのXNUMXつの結果に従うことにより、いくつかの連続確率変数とそれらの合計が独立変数として表示されます。

独立した一様確率変数の合計

のためにランダム変数 XとYは区間（0,1）に均一に分布し、これらの独立変数の両方の確率密度関数は次のようになります。

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したがって、合計X + Yについては、次のようになります。

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任意の値について、aはXNUMXとXNUMXの間にあります

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XNUMXとXNUMXの間に制限すると、次のようになります。

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これにより、三角形の形状密度関数が得られます

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n個の独立した一様確率変数1からnを一般化すると、それらの分布関数

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数学的帰納法によって

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独立したガンマ確率変数の合計

通常の密度関数を持つXNUMXつの独立したガンマ確率変数がある場合

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次に、独立したガンマ確率変数の合計の密度に従います

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これは、独立しているガンマ確率変数の合計の密度関数を示しています

独立した指数確率変数の合計

ガンマ確率変数と同様に、独立した指数確率変数の合計は、ガンマ確率変数の値を具体的に割り当てるだけで、密度関数と分布関数を取得できます。

独立した正規確率変数の合計| 独立した正規分布の合計

n個の独立した正規確率変数Xi、i = 1,2,3,4….nがあり、それぞれの平均がμiである場合分散σ2iそしてそれらの合計また、平均がΣμi、分散がΣσ2iの正規確率変数です。

最初に、パラメーター0とσを持つXNUMXつの正規確率変数Xの正規分布の独立和を示します。² パラメータ0と1のYを使用して、X + Yの合計の確率密度関数を求めます。

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同時分布密度関数で

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正規分布の密度関数の定義の助けを借りて

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したがって、密度関数は次のようになります。

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これは、の密度関数に他なりません。正規分布平均0と分散（1 +σ2）が同じ引数に従うと、

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通常の平均と分散で。展開を取り、合計が通常、それぞれの平均の合計としての平均とそれぞれの分散の合計としての分散で分布していることを観察すると、

したがって、同じように、n番目の合計は、平均がΣμの正規分布確率変数になります。_i と分散Σσ²_i

独立したポアソン確率変数の合計

パラメータλを持つXNUMXつの独立したポアソン確率変数XとYがある場合₁ およびλ₂ その場合、それらの合計X + Yもポアソン確率変数またはポアソン分布です

XとYはポアソン分布であり、それらの合計をばらばらのイベントの和集合として書くことができるので、

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独立確率変数の確率を使用することによって

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したがって、X + Yの合計も平均λで分布するポアソン分布になります。₁ +λ₂

独立した二項確率変数の合計

パラメータ（n、p）と（m、p）を持つXNUMXつの独立した二項確率変数XとYがある場合、それらの合計X + Yも二項確率変数またはパラメータ（n + m、p）で分布する二項分布です。

二項式の定義で合計の確率を次のように使用しましょう

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与える

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したがって、合計X + Yもパラメーター（n + m、p）で二項分布します。

結論：

状況に応じて複数の変数の分布を比較的与える同時分布確率変数の概念についても説明します。さらに、同時分布の助けを借りた独立確率変数の基本概念と、分布の例を含む独立変数の合計を示します。それらのパラメータについては、さらに読む必要がある場合は、言及されている本を参照してください。数学に関するその他の投稿については、ここをクリック。

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