逆ガンマ分布とガンマ分布のモーメント母関数
ガンマ分布に続いて、ガンマ分布の基本的な特性のいくつかに従うことにより、逆ガンマ分布とモーメント母関数の概念、中心傾向の平均、モード、およびガンマ分布の中央値を確認します。
ガンマ分布のプロパティ
いくつかの ガンマ分布の重要な特性 次のように参加しています
ガンマ分布の確率密度関数は次のとおりです。
or
ここで、ガンマ関数は
2.ガンマ分布の累積分布関数は次のとおりです。
ここで、f（x）は、上記の確率密度関数です。特に累積分布関数は次のとおりです。
- 世界 ガンマ分布の平均と分散 is
及び
それぞれまたは
E [X] =α*β
及び
- ガンマ分布のモーメント母関数M（t）は次のとおりです。
or
- pdfとcdfの曲線は
- 逆ガンマ分布は、ガンマ分布の確率密度関数の逆数を次のようにとることによって定義できます。
- 独立したガンマ分布の合計は、パラメーターの合計を含むガンマ分布です。
逆ガンマ分布| 正規逆ガンマ分布
確率密度関数のガンマ分布の場合
or
変数の逆数または逆数を取ると、確率密度関数は次のようになります。
したがって、この確率密度関数を持つ確率変数は、逆ガンマ確率変数または逆ガンマ分布または逆ガンマ分布であることが知られています。
上記の任意のパラメーターの確率密度関数は、ラムダまたはシータのいずれかの形式で取得できます。ガンマ分布の逆数である確率密度関数は、逆ガンマ分布の確率密度関数です。
累積分布関数または逆ガンマ分布のcdf
逆ガンマ分布の累積分布関数は、分布関数です。
ここで、f（x）は次のような逆ガンマ分布の確率密度関数です。
逆ガンマ分布の平均と分散
期待値と分散の通常の定義に従うことによる逆ガンマ分布の平均と分散は次のようになります。
及び
逆ガンマ分布証明の平均と分散
確率密度関数を使用して逆ガンマ分布の平均と分散を取得するには
期待値の定義では、最初にxの任意の累乗の期待値を次のように見つけます。
上記の積分では、密度関数を次のように使用しました。
ここで、αの値がXNUMXより大きく、nがXNUMXである場合
同様に、n = 2の値は2より大きいアルファの値です。
これらの期待値を使用すると、分散の値が次のようになります。
逆ガンマ分布プロット| 逆ガンマ分布グラフ
逆ガンマ分布はガンマ分布の逆数であるため、ガンマ分布を観察しながら、確率密度関数を次のように持つ逆ガンマ分布の曲線の性質を観察することをお勧めします。
および次の累積分布関数
説明: 確率密度関数のグラフ αの値を1に固定し、βの値を変化させることによる累積分布関数。
説明：αの値を2に固定し、βの値を変化させることによる確率密度関数と累積分布関数のグラフ
説明：αの値を3に固定し、βの値を変化させることによる確率密度関数と累積分布関数のグラフ。
説明：βの値を1に固定し、αの値を変化させることによる確率密度関数と累積分布関数のグラフ。
説明：βの値を2に固定し、αの値を変化させることによる確率密度関数と累積分布関数のグラフ
説明：βの値を3に固定し、αの値を変化させることによる確率密度関数と累積分布関数のグラフ。
ガンマ分布のモーメント母関数
ガンマ分布のモーメント母関数の概念を理解する前に、モーメント母関数の概念を思い出してみましょう。
モーメント
の瞬間 ランダム変数 期待の助けを借りて次のように定義されます
これは確率変数Xのr次モーメントとして知られています。これは原点に関するモーメントであり、一般に生モーメントとして知られています。
平均μについての確率変数のr番目のモーメントを次のように取ると
平均に関するこのモーメントは中心モーメントとして知られており、期待値は確率変数の性質に従って次のようになります。
中心モーメントにrの値を入れると、次のような初期モーメントが得られます。
中心モーメントの二項式展開をとると、中心モーメントと生モーメントの関係を簡単に得ることができます。
初期の関係のいくつかは次のとおりです
モーメント発生機能
関数の助けを借りて生成できるモーメントは、モーメント母関数と呼ばれ、次のように定義されます。
この関数は、いずれかの形式の指数関数の展開の助けを借りてモーメントを生成します
テイラーズフォームを
この拡張された関数をtに関して微分すると、次のように異なるモーメントが得られます。
別の方法で、導関数を直接次のように取る場合
両方の離散のために
そして継続的に
したがって、t = 0の場合、次のようになります。
同様に
as
そして一般的に
積率母関数にはXNUMXつの重要な関係があります
ガンマ分布のモーメント母関数| ガンマ分布のmgf | ガンマ分布のモーメント母関数
今ガンマのために モーメント母関数の分布 pdfのM（t）
is
そしてpdfのために
モーメント母関数は
ガンマ分布モーメント母関数の証明| ガンマ分布証明のmgf
ここで、最初に確率密度関数の形式を取ります。
モーメント母関数M（t）の定義を使用すると、次のようになります。
モーメント母関数を使用して、ガンマ分布の平均と分散を、この関数のXNUMX倍のtに関して微分するように見つけることができます。
t = 0とすると、最初の値は次のようになります。
及び
今、これらの期待の価値を
代わりにフォームのpdfのために
モーメント母関数は
微分してt = 0とすると、次のように平均と分散が得られます。
ガンマ分布の2次モーメント
モーメント母関数を0回微分し、その関数のXNUMX次導関数にt = XNUMXの値を入れることにより、ガンマ分布のXNUMX次モーメントが得られます。
ガンマ分布のXNUMX次モーメント
積率母関数を0回微分し、t = XNUMXの値をmgfのXNUMX次導関数に入れることで見つけることができるガンマ分布のXNUMX次モーメント
または直接統合することによって
ガンマ分布のシグマ
タイプのガンマ分布の分散の平方根を取ることによって見つけることができるガンマ分布のシグマまたは標準偏差
or
アルファ、ベータ、ラムダの定義された値。
ガンマ分布の特性関数| ガンマ分布特性関数
モーメント母関数の変数tがt =iωのような純粋な虚数である場合、この関数は、次のように表され、表されるガンマ分布の特性関数として知られています。
確率変数に関しては、特性関数は次のようになります。
したがって、ガンマ分布の場合、ガンマ分布のpdfに従うことによる特性関数は次のようになります。
以下
この特性関数には、次の場合にも別の形式があります。
その後
ガンマ分布の合計| 指数分布ガンマの合計
ガンマ分布の合計の結果を知るには、まず、連続確率変数の独立確率変数の合計を理解する必要があります。これには、連続確率変数XとYの確率密度関数、次に合計の累積分布関数を使用します。確率変数の
XとYの確率密度関数の積分のこの畳み込みを微分すると、確率変数の合計の確率密度関数は次のようになります。
ここで、XとYがそれぞれの密度関数を持つガンマ確率変数であるかどうかを証明しましょう。合計は、同じパラメーターの合計を持つガンマ分布にもなります。
フォームの確率密度関数を考慮する
確率変数Xの場合はアルファをsとし、確率変数Yの場合はアルファをtとするため、確率変数の合計の確率密度を使用します。
ここで、Cはaから独立しているため、値は次のようになります。
これは、XとYの合計の確率密度関数を表し、ガンマ分布であるため、ガンマ分布の合計は、それぞれのパラメーターの合計によってガンマ分布も表します。
ガンマ分布のモード
ガンマ分布のモードを見つけるために、確率密度関数を次のように考えてみましょう。
ここで、このpdfをxに関して微分します。微分は、次のようになります。
これは、x = 0またはx =（α-1）/λの場合はゼロになります
だからこれらは 重要なポイント アルファがゼロ以上の場合、一次導関数はゼロになります。これによりpdfがゼロになるため、x = 0はモードになりません。したがって、モードは（α-1）/λになります。
厳密にXNUMX未満のアルファの場合、xがゼロから無限大に増加すると、導関数は無限大からゼロに減少するため、これは不可能であるため、ガンマ分布のモードは次のようになります。
ガンマ分布の中央値
ガンマ分布の中央値は、次のように逆ガンマ分布の助けを借りて見つけることができます
or
提供
与える
ガンマ分布の形状
形状パラメーターがXNUMXの場合、ガンマ分布は形状パラメーターによって形状が異なりますが、形状パラメーターを変化させると、形状パラメーターの増加に伴い、ガンマ分布の曲線の傾きが減少します。ガンマ分布の曲線の形状は、標準偏差に従って変化します。
ガンマ分布の歪度
分布の歪度は、その分布の確率密度関数と歪度係数を観察することで観察できます。
私たちが持っているガンマ分布のために
so
これは、アルファが無限大に増加する場合にのみ歪度がアルファに依存することを示しています。曲線はより対称的でシャープになり、アルファがゼロになると、密度グラフで観察できる正に歪んだガンマ分布密度曲線になります。
一般化ガンマ分布| ガンマ分布の形状とスケールパラメータ| XNUMXつのパラメーターのガンマ分布| 多変量ガンマ分布
ここで、γ、μ、およびβはそれぞれ形状、位置、およびスケールパラメータです。これらのパラメータに特定の値を割り当てることにより、0つのパラメータのガンマ分布を取得できます。μ= 1、β= XNUMXとすると、次のように標準のガンマ分布が取得されます。
この3つのパラメーターのガンマ分布確率密度関数を使用して、それぞれの定義に従うことにより、期待値と分散を見つけることができます。
結論：
ガンマ分布の逆数の概念は 逆ガンマ分布 ガンマ分布と比較して、モーメント母関数の助けを借りてガンマ分布の中心傾向を測定することがこの記事の焦点でした。さらに読む必要がある場合は、提案された本とリンクを参照してください。 数学に関するその他の投稿については、 数学のページ.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
シェルドンロスによる確率の最初のコース
シャウムの確率と統計の概要
ROHATGIとSALEHによる確率と統計の紹介
