エルミート多項式は、直交関数としてアプリケーションで広く使用されています。 エルミート多項式は、エルミート微分方程式の級数解です。
エルミートの方程式
特定の係数を持つXNUMX階の微分方程式
d2y / dx2 – 2x dy / dx + 2xy = 0
はエルミート方程式として知られています。この微分方程式を解くことにより、次の多項式が得られます。 エルミート多項式.
方程式の解を見つけましょう
d2y / dx2 – 2x dy / dx + 2ny = 0
微分方程式の級数解の助けを借りて
これらすべての値をエルミートの方程式に代入します
この方程式は、k = 0の値を満たし、kの値が負にならないことを前提としているため、最低次の項xについてM-2 0番目の方程式は負の値を与えるので最初の方程式でk = XNUMXを取るので、係数xM-2 is
a0m（m-1）=0⇒m= 0、m = 1
として0 ≠0
同じようにxの係数を等しくしますM-1 XNUMX番目の合計から
xの係数を等しくするm + k ゼロに、
ak + 2（m + k + 2）（m + k + 1）-2ak（m + kn）= 0
私たちはそれを次のように書くことができます
ak + 2 = 2（m + kn）/（m + k + 2）（m + k + 1）ak
m = 0の場合
ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak
m = 1の場合
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak
これらのXNUMXつのケースについて、kのケースについて説明します。
$m=0 のとき、k + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$
$k=0 の場合2 =-2 n/2 a0=-な0$
$k=1、a3=2(1-n)/6 a1 =-2(n-1)/3 ! a1$
$k=2 の場合、4 =2(2-n)/12 a2 =2 (2-n)/12 (-na)0）= 22 n(n-2)/4 ! a0$
これまでのところ、m = 0の場合、XNUMXつの条件があります。1= 0の場合、3=a5=a7=…。= a2r + 1= 0および1 ゼロではない場合
これに従うことによって、の値を置きます0,a1,a2,a3,a4 と5 我々は持っている
m = 1aの場合1= 0 k = 0,1,2,3、…..を置くことによって得られます
ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak
だから解決策は
したがって、完全なソリューションは
ここで、AとBは任意の定数です。
エルミート多項式
エルミートの方程式の解は、y（x）= Ayの形式です。1（x）+ By2（x）ここでy1（x）とy2（x）は、上記で説明した級数の用語です。
これらのシリーズのXNUMXつは、nがyでない場合、nが負でない整数の場合に終了します。1 それ以外の場合は終了しますy2 nが奇数の場合、n = 0,1,2,3,4……..の場合、これらの多項式は次のようになります。
1,x,1-2x2, x-2/3 x3、1～4倍2+4/3倍4、x-4/3x3+ 4/15x5
したがって、ここでエルミートの方程式の解はこれらの多項式の定数倍であり、xの最大の累乗を含む項は2の形式であると言えます。nxn Hで示されるn（x）はとして知られています エルミート多項式
エルミート多項式の母関数
通常、母関数を使用した関係の助けを借りて定義されるエルミート多項式
[n / 2]は、n / 2以下の最大の整数であるため、次の値に従います。 Hn（x）は as
これはそれを示しています Hn（x）は xの次数nの多項式であり、
Hn（x）= 2nxn +πn-2 （x）は
コラボレー πn-2 （x）はxの次数n-2の多項式であり、nの偶数値の場合はxの偶関数になり、nの奇数値の場合はxの奇関数になります。
Hn(-x) = (-1)n Hn（x）は
開始エルミート多項式のいくつかは
H0（x）= 1
H1（x）= 2x
H2（x）= 4x2 - 2 XNUMX
H3（x）= 8x3-12
H4（x）= 16x4 -48倍2+12
H5（x）= 32x2 -160倍3+ 120x
Rodrigue Formula によるエルミート多項式の生成関数
エルミート多項式は、母関数を使用してロドリゲスの公式を使用して定義することもできます。
母関数の関係から
Maclaurinの定理を使用すると、次のようになります。
or
z = xtと置くことによって
t = 0の場合、z = xは次のようになります。
これは別の方法で示すことができます
差別化
tに関して与える
限界tを取ることはゼロになる傾向があります
xに関して差別化するようになりました
限界tを取ることはゼロになる傾向があります
これらのXNUMXつの式から私たちは書くことができます
私たちが書くことができるのと同じ方法で
n回微分するとt = 0になり、次のようになります。
これらの値から私たちは書くことができます
これらから値を取得できます
エルミート多項式の例
- の通常の多項式を見つける
解決策：エルミート多項式の定義と私たちが持っている関係を使用する
2.通常の多項式のエルミート多項式を見つけます
解決策：エルミートに変換できる与えられた方程式は次のようになります
そして、この方程式から、同じ累乗係数を等しくします
したがって、エルミート多項式は次のようになります。
エルミート多項式の直交性| エルミート多項式の直交特性
エルミート多項式の重要な特性は、その直交性です。
この直交性を証明するために、それを思い出してみましょう
これはエルミート多項式の母関数であり、私たちは知っています
したがって、これらXNUMXつの方程式を乗算すると、次のようになります。
無限限界内での乗算と統合
それ以来
so
上記の式でこの値を使用すると、
与える
両側の係数を等しくします
これは、エルミート多項式の直交特性を示しています。
エルミート多項式の直交特性の結果は、漸化式を考慮することによって別の方法で示すことができます。
エルミート多項式の直交性の例
1.積分を評価する
解決策：エルミート多項式の直交性のプロパティを使用する
ここでの値はm = 3およびn = 2であるため、
2.積分を評価します
解決策：エルミート多項式の直交性プロパティを使用して、次のように記述できます。
エルミート多項式の漸化式
エルミート多項式の値は、漸化式によって簡単に見つけることができます。
これらの関係は、定義とプロパティの助けを借りて簡単に取得できます。
証明：1。 エルミート方程式を知っています
y”-2xy'+2ny = 0
との関係
xに関して部分的に微分を取ることにより、次のように書くことができます。
これらのXNUMXつの方程式から
nをn-1に置き換えます
tの係数を等しくすることによってn
したがって、必要な結果は次のとおりです。
2.同様の方法で、方程式をtに関して部分的に微分します。
我々は得る
n = 0は消えるので、このeの値を置くことによって
今tの係数を等しくしますn
こうして
3.この結果を証明するために、Hを削除しますn-1 from
及び
だから私たちは得る
したがって、結果を書くことができます
4.この結果を証明するために、差別化を図ります
私たちは関係を得る
値を代入する
nをn + 1に置き換えます
与える
エルミート多項式の漸化式の例
1.それを示す
H2n(0) = (-1)n。 22n （1 / 2）n
溶液：
結果を表示するには
H2n(x) =
ここでx = 0を取ると、次のようになります。
2.それを示す
NS'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 （3 / 2）2
溶液：
漸化式から
NS'n(x) = 2nHn-1（X）
ここでnを2n + 1に置き換えるので、
NS'2n-1(x) = 2(2n+1)H2n（x）は
x = 0を取る
3.の値を見つけます
H2n + 1(0)
世界
私たちが知っているので
ここでx = 0を使用します
H2n-1（0）= 0
4. H 'の値を見つけます2n（0）。
世界 :
漸化式があります
NS'n(x) = 2nHn-1（x）は
ここでnを2nに置き換えます
NS'2n(x) = =2(2n)H2n-1（x）は
x = 0を置く
NS'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0
5.次の結果を表示します
世界 :
漸化式を使用する
NS'n(x) = 2nHn-1 （x）は
so
及び
d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3（x）は
このm回の差別化
与える
6.それを示す
Hn(-x) = (-1)n Hn（x）は
世界 :
我々は書ける
tの係数からn 我々は持っている
および-xの場合
7.積分を評価し、表示します
世界 ：この積分を解くには、次のように積分部分を使用します
さて、積分記号の下の微分は
xに関して
使用して
NS'n（x）= 2nHn-1 （x）は
及び
NS'm(x) = 2mHM-1 （x）は
我々は持っている
それ以来
𝝳 n,m-1 = 𝝳n+1、m
したがって、積分の値は次のようになります。
結論：
アプリケーションで頻繁に発生する特定の多項式はエルミート多項式であるため、さらに読む必要がある場合は、基本的な定義、母関数、漸化式、およびエルミート多項式に関連する例について簡単に説明しました。
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
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