ガンマ分布指数型分布族:21の重要な事実

コンテンツ

  1. 特殊な形式のガンマ分布とガンマ分布の関係
  2. ガンマ分布指数型分布族
  3. ガンマ分布と正規分布の関係
  4. ポアソンガンマ分布| ポアソンガンマ分布の負の二項
  5. ワイブルガンマ分布
  6. 実生活でのガンマ分布の応用| ガンマ分布の用途| 統計におけるガンマ分布の適用 
  7. ベータガンマ分布| ガンマ分布とベータ分布の関係
  8. 二変量ガンマ分布
  9. 二重ガンマ分布
  10. ガンマ分布と指数分布の関係| 指数分布とガンマ分布| ガンマ指数分布
  11. ガンマ分布に適合
  12. シフトされたガンマ分布
  13. 切り捨てられたガンマ分布
  14. ガンマ分布の生存関数
  15. ガンマ分布の最尤法| 最尤ガンマ分布| ガンマ分布の尤度関数
  16. モーメントのガンマ分布パラメータ推定法| モーメント推定量のガンマ分布の方法
  17. ガンマ分布の信頼区間
  18. 指数分布の事前ガンマ分布共役| ガンマ事前分布| 事後分布ポアソンガンマ
  19. ガンマ分布分位関数
  20. 一般化ガンマ分布
  21. ベータ一般化ガンマ分布

特殊な形式のガンマ分布とガンマ分布の関係

  この記事では、ガンマ分布の特殊な形式と、ガンマ分布とさまざまな連続および離散確率変数との関係について説明します。また、ガンマ分布を使用した母集団のサンプリングにおけるいくつかの推定方法についても簡単に説明します。

ガンマ分布指数型分布族

  ガンマ分布指数型分布族であり、実際の問題のほとんどはガンマ分布指数型分布族でモデル化でき、指数型分布族内で迅速かつ有用な計算を簡単に実行できるため、主に適用可能な分布型分布族であるXNUMXパラメーター指数型分布族です。確率密度関数を次のように取ると、XNUMXつのパラメーターで

α(アルファ)の既知の値を制限すると、このXNUMXつのパラメーターファミリーはXNUMXつのパラメーター指数ファミリーに減少します

およびλ(ラムダ)の場合

ガンマ分布と正規分布の関係

  ガンマ分布の確率密度関数では、アルファを50に近づけると、密度関数の性質は次のようになります。

ガンマ分布指数型分布族
ガンマ分布指数型分布族

ガンマ分布の形状パラメーターでさえ、正規分布の正規曲線の類似性をもたらしています。形状パラメーターのアルファが無限大になる傾向がある場合、ガンマ分布はより対称的で正規分布になりますが、アルファがガンマ分布のxの値を無限大にする傾向がある分布はマイナス無限大になる傾向があり、その結果、ガンマ分布は半無限にサポートされます。したがって、ガンマ分布でさえ対称になりますが、正規分布と同じではありません。

ポアソンガンマ分布| ポアソンガンマ分布の負の二項

   ポアソンガンマ分布と二項分布は離散確率変数であり、その確率変数は、結果としてのみランダムな成功または失敗を与えるベルヌーイ試行の形で、特に成功と失敗の離散値を扱います。現在、ポアソンとガンマ分布の混合もあります。負の二項分布として知られるのは、ベルヌーイ試行の繰り返し試行の結果です。これは、r回目の成功が試行回数で発生するかのように、さまざまな方法でパラメーター化できます。

そして、r番目の成功の前の失敗の数が次のようにパラメータ化できる場合

rとpの値を考慮します

負の二項またはポアソンガンマ分布のパラメーター化の一般的な形式は次のとおりです。

代替案は

この二項分布は、係数のために負として知られています

そして、この負の二項またはポアソンガンマ分布は、この分布のXNUMXつとして得られる合計確率として明確に定義されています。

この負の二項またはポアソンガンマ分布の平均と分散は次のとおりです。

次の計算で得られるポアソンとガンマの関係

したがって、負の二項分布はポアソン分布とガンマ分布の混合であり、この分布は、離散的で連続的な混合が必要な日常の問題モデリングで使用されます。

ガンマ分布指数型分布族
ガンマ分布指数型分布族

ワイブルガンマ分布

   ワイブル分布は確率密度関数を次のように持つため、ガンマ分布だけでなくワイブルを含む指数分布の一般化があります。

および累積分布関数は次のようになります。

ガンマ分布のpdfとcdfについてはすでに説明しましたが、ワイブル分布とガンマ分布の主な関係は両方とも指数分布の一般化です。これらの違いは、変数の累乗が1より大きい場合、ワイブル分布はより少ない時間で迅速な結果をもたらします。 XNUMXガンマよりも速い結果が得られます。

     ここでは、個別の説明が必要な一般化されたワイブルガンマ分布については説明しません。

実生活でのガンマ分布の適用| ガンマ分布の用途| 統計におけるガンマ分布の適用 

  ガンマ分布を使用して、保険金請求の集計、降雨量の累積、製品の製造と流通、特定のWeb上の群衆、通信交換などの状況をモデル化するアプリケーションが多数あります。待ち時間 予測 n番目のイベントの次のイベントまで。 実生活ではガンマ分布の適用が数多くあります。

ベータガンマ分布| ガンマ分布とベータ分布の関係

    ベータ分布は、確率密度関数を持つ確率変数です。

コラボレー

これは、ガンマ関数と関係があります。

XがパラメータalphaとbetaをXNUMXとして持つガンマ分布であり、YがパラメータalphaをXNUMXとbetaとして持つガンマ分布であるかのように、ガンマ分布に関連するベータ分布。確率変数X /(X + Y)はベータ分布です。

またはXがガンマ(α、1)でYがガンマ(1、β)の場合、確率変数X /(X + Y)はベータ(α、β)です。 

また、

二変量ガンマ分布

     同時分布関数となるような関数f(x、y)が存在する場合、XNUMX次元またはXNUMX変量確率変数は連続です。

コラボレー

およびによって得られる同時確率密度関数

二変量ガンマ分布の数があります。そのうちのXNUMXつは、確率密度関数が次のような二変量ガンマ分布です。

二重ガンマ分布

  二重ガンマ分布は、パラメーターalphaを持つガンマ確率変数を持つXNUMX変量分布のXNUMXつであり、同時確率密度関数を持つXNUMXつです。

この密度は、それぞれの確率変数で二重ガンマ分布を形成し、二重ガンマ分布のモーメント母関数は次のようになります。

ガンマ分布と指数分布の関係| 指数分布とガンマ分布| ガンマ指数分布

   指数分布は確率密度関数を使用した分布であるため

ガンマ分布には確率密度関数があります

明らかにアルファの値をXNUMXつにすると、指数分布が得られます。つまり、ガンマ分布は指数分布の一般化に他なりません。指数分布は、次のn番目のイベントが発生するまでの待機時間を予測し、指数分布は待機を予測します。次のイベントが発生するまでの時間。

ガンマ分布に適合

   与えられたデータをガンマ分布の形でフィッティングする限り、形状、位置、およびスケールのパラメーターを含むXNUMXつのパラメーターの確率密度関数を見つけることを意味します。したがって、異なるアプリケーションでこれらのパラメーターを見つけ、平均、分散、標準偏差を計算します。 モーメント母関数はガンマ分布のフィッティングです、さまざまな現実の問題がガンマ分布でモデル化されるため、状況ごとの情報をこの目的のためにガンマ分布に適合させる必要があるため、R、Matlab、Excelなどのさまざまな環境でさまざまな手法がすでに存在します。

シフトされたガンマ分布

     アプリケーションごとに、XNUMXつのパラメーターのガンマ分布から必要な分布をシフトする要件があり、新しい一般化されたXNUMXつのパラメーターまたは別の一般化されたガンマ分布が形状の位置とスケールをシフトします。このようなガンマ分布はシフトされたガンマ分布として知られています。

切り捨てられたガンマ分布

     形状スケールと位置パラメータのガンマ分布の範囲またはドメインを制限する場合、制限されたガンマ分布は、条件に基づく切り捨てられたガンマ分布として知られています。

ガンマ分布の生存関数

                ガンマ分布の生存関数は、関数s(x)で次のように定義されます。

ガンマ分布の最尤法| 最尤ガンマ分布| ガンマ分布の尤度関数

最尤法は、代表として母集団からサンプルを取得し、このサンプルは、確率密度関数の推定量として、密度関数のパラメーターを最大化することを考慮してから、ガンマ分布に進む前に、確率変数Xに関するいくつかの基本を思い出します。シータをパラメータとする確率密度関数は、次のような尤度関数を持ちます。

これは次のように表現できます

この尤度関数を最大化する方法は次のようになります。

そのようなシータがこの方程式を満たし、対数が単調関数である場合、対数で書くことができます

そして、そのような上限は、

ここで、ガンマ分布関数の最尤法を次のように適用します。

関数の対数尤度は次のようになります

そうです

それゆえ

これは、次のようにも達成できます。

by

そしてパラメータは微分することによって得ることができます

モーメントのガンマ分布パラメータ推定法| モーメント推定量のガンマ分布の方法

   それぞれn次の期待値を使用して、母集団とサンプルのモーメントを計算できます。モーメント法は、これらの分布モーメントとサンプルを等しくしてパラメーターを推定します。確率密度関数が次のようなガンマ確率変数のサンプルがあるとします。

この確率密度関数の最初のXNUMXつのモーメントは次のとおりです。

so

ラムダに置き換えると、断面二次モーメントから得られます

そしてこのアルファの値から

そして今ラムダは

サンプルを使用したモーメント推定器は

ガンマ分布の信頼区間

   ガンマ分布の信頼区間は、情報とその不確実性を推定する方法であり、間隔がパラメーターの真の値を何パーセントで持つと予想されるかを示します。この信頼区間は、確率変数の観測から取得されます。ランダムそれ自体は、ガンマ分布の信頼区間を取得するためにランダムです。さまざまなアプリケーションで、従わなければならないさまざまな手法があります。

指数分布の事前ガンマ分布共役| ガンマ事前分布| 事後分布ポアソンガンマ

     事後分布と事前分布はベイジアンの用語です 確率論 そして、それらは互いに共役です。ある分布の後部が別の分布である場合、任意のXNUMXつの分布は共役です。シータの観点から、ガンマ分布が指数分布の前に共役であることを示しましょう。

の確率密度関数の場合 ガンマ分布 シータに関しては

シータの分布関数が与えられたデータから指数関数であると仮定します

したがって、同時分布は次のようになります。

と関係を使用して

我々は持っている

どちらである

したがって、ガンマ分布は指数分布の前に共役であり、後部はガンマ分布です。

ガンマ分布分位関数

   ガンマ分布の分位関数は、ガンマ分布の値の順位に関連するガンマ分布のポイントを与える関数になります。これには、累積分布関数が必要であり、言語ごとに異なるアルゴリズムとガンマ分布の分位数の関数が必要です。

一般化ガンマ分布

    ガンマ分布自体は指数型分布族の一般化であり、この分布にさらにパラメーターを追加すると、この分布族のさらなる一般化である一般化ガンマ分布が得られます。物理的要件により、確率密度関数を使用することが多い一般化のXNUMXつが異なります。なので

このような一般化ガンマ分布の累積分布関数は、次の式で取得できます。

ここで、分子は不完全ガンマ関数を次のように表します。

この不完全ガンマ関数を使用すると、一般化ガンマ分布の生存関数は次のように取得できます。

確率密度関数を持つこのXNUMXつのパラメータの一般化ガンマ分布の別のバージョンは次のとおりです。

ここで、k、β、θはゼロより大きいパラメーターです。これらの一般化には、ワイブルパラメーターの置き換えを克服するための収束の問題があります。

このパラメーター化を使用すると、得られた密度関数の収束が得られるため、収束を伴うガンマ分布のより一般化は、確率密度関数を伴う分布になります。

ベータ一般化ガンマ分布

   密度関数にパラメーターbetaが含まれるガンマ分布。そのため、ガンマ分布は、密度関数を使用したベータ一般化ガンマ分布として知られることがあります。

累積分布関数として

ガンマ分布の説明ですでに詳細に説明されていますが、さらにベータ一般化ガンマ分布は、累積分布関数で次のように定義されます。

ここで、B(a、b)はベータ関数であり、この確率密度関数は微分によって取得でき、密度関数は次のようになります。

ここで、G(x)は上記で定義された累積分布です function ガンマ分布の場合、この値を入力すると、ベータ一般化ガンマ分布の累積分布関数は次のようになります。

および確率密度関数

残り このベータ一般化ガンマ分布のプロパティを拡張できます 通常の定義で。

結論:

のさまざまな形式と一般化があります ガンマ分布 実生活の状況に応じたガンマ分布指数型分布族。情報の母集団サンプリングにおけるガンマ分布の推定方法に加えて、そのような形式と一般化が可能であるため、ガンマ分布指数型分布族についてさらに読む必要がある場合は、以下のリンクを参照してください。と本。 数学のその他のトピックについては、次のWebサイトをご覧ください。 私たちのページ.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

シェルドンロスによる確率の最初のコース

シャウムの確率と統計の概要

ROHATGIとSALEHによる確率と統計の紹介

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