離散確率変数と数学的期待値

通常、ランダムまたは非ランダムの実験で起こりうるすべての結果には関心がありません。代わりに、好ましいイベントの確率または数値に関心があります。たとえば、合計に8つのサイコロを投げると、2になります。 6または（3,5）、（5,3）、（4,4）、（6,2）などのXNUMX番目のサイコロを持つ最初のサイコロとしての結果に関心があります。同様に、日常生活における貯水池のランダムな実験については、毎日の水位の増減には関心がなく、完了後の雨季の水位にのみ関心があります。

したがって、私たちが関心を持っているそのような数値は、それぞれのランダム実験の確率変数と見なされます。この目的のために、ランダム実験の結果に可能な実数値を数値的に割り当てます。結果に数値を割り当てる例として、コインを投げる実験を考えてみましょう。ランダム実験のサンプル空間で、頭とトレイルにそれぞれ数値0と1を割り当てます。

離散確率変数

離散確率変数 数が有限または可算無限である確率変数として定義でき、有限または可算無限ではない確率変数は非離散確率変数です。実数を割り当てるサンプル空間のすべての要素について、これはX、つまりX：S→Rで表される実数値関数の観点から解釈できます。この関数を確率変数または確率関数と呼びます。これには、物理的、幾何学的、またはその他の重要性があります。

例：XNUMXつのサイコロを投げる実験を考えてから、確率変数または 確率関数 サイコロに現れたポイントの合計を表し、次にサンプル空間の可能な値を表します

S = {（1,1）、（1、2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、

（2,1）、（2,2）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、

（3,1）、（3,2）、（3,3）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、

（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（4,5）、（4,6）、

（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（5,6）、

（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6）}

（2）の場合、X = 1,1になります

（3）、（1,2）などのX = 2,1以下から、簡単に理解できます

X = 2	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
X = 3	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
X = 4	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
X = 5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
X = 6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)
X = 7	X = 8	X = 9	X = 10	X = 11		X = 12

上記の表では、右から左への対角要素は、確率変数または確率関数によって表される合計を示します。

それぞれの確率変数の確率は次のように表すことができます

離散確率分布

離散確率分布 特にxの場合、本質的に離散的な確率変数の確率です。₁、X₂、X₃、X₄、 ………。、バツ_k の値は 離散確率変数 X、次にP（x₁）、P（x₂）、P（x₃）、P（x₄）、……….P（x_k）は対応する確率です。

として表すことができる確率関数/確率分布

P（X = x）= f（x）

確率の定義に従って、この関数は次の条件を満たす。

f（x）≥0
Σf（x）= 1、ここで、この合計はxの合計です。

例：コインをXNUMX回投げた場合、トレイルの数を確率変数Xとして表すと、次のようになります。

成果	TT	TH	HT	HH
X	2	1	1	0

公正なコインを取ると、上記はXNUMX回投げた結果になり、そのような確率変数の確率は次のようになります。

P（X = 0）= P（H、H）= 1/4

P（X = 1）= P（THまたはHT）= P（TH∪HT）= P（TH）+ P（HT）= 1/4 + 1/4 = 1/2

およびP（X = 2）= P（TT）= 1/4

この確率分布は、次のように表にできます。

X	0	1	2
P（X = x）= f（x）	¼	½	1 / 4

累積分布関数（cdf）/分布関数

定義します 分布関数 or 累積分布関数 （cdf）F（x）で表される離散確率変数Xの場合、-∞≤x≤∞の場合

F（x）= P（X≤x）

それが続くという条件で

任意のx、y、x≤y、F（x）≤F（y）の場合、つまり累積分布関数F（x）は減少しません。
F（x）= 0およびF（x）= 1
F（x + h）= F（x）、∀xie。累積分布関数F（x）は右連続です。

以来 離散確率変数 X = xの確率はP（X = x）、xの場合₁<X<x₂ P（x₁<X<x₂）およびX≤xの場合はP（X≤x）です。

離散分布関数の分布関数は次のように書くことができます。

分布関数から確率関数を次のように取得できます。

P（X = x）= f（x）= F（x）-F（u）

例：世界確率離散確率変数の場合、次のように与えられます

X	0	1	2	3	4	5	6	7
P（x）	0	1 / 10	1 / 5	1 / 5	3 / 10	1 / 100	1 / 50	17 / 100

累積分布関数

F2、F5、F（7）を見つけますか？

溶液：

数学的期待値

数学的期待値 にとって非常に重要な概念です確率論統計の観点だけでなく、期待値または期待値としても知られています。これは、確率変数の合計と、乗算におけるその確率、つまりxの場合に定義できます。₁、X₂、X₃、X₄、 ………。バツ_n は離散確率変数Xの値であり、次にP（x₁）、P（x₂）、P（x₃）、P（x₄）、……….P（xn）は対応する確率です確率変数の数学的期待値 E（x）で表されるX

例：一度に72から1まで番号が付けられた72枚のカードのパックから、8枚のカードが引き出されます。引き出されたチケットの数字の合計の期待値を見つけます。

溶液：。確率変数xを考慮してください₁、X₂、X₃、X₄、………。バツ_n 1、2、3、4、………、72の番号が付けられたカードを表す

したがって、72枚のカードのうちxが出る確率は

P（x_i）= 1 / n = 1/72

それ以来、期待は

E（x）= x₁。（1 / n）+ x₂。（1 / n）+ x₃。（1 / n）+……………+ x_n。（1 / n）

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

これで、そのようなカード8枚の期待値は次のようになります。

E（x）= x₁。（1 / n）+ x₂。（1 / n）+ x₃。（1 / n）+……………+ x₈。（1 / n）

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

分散, 標準偏差 および 平均偏差 数学的期待による

世界統計の重要な概念 標準偏差 および分散数学的な期待値で表すことができるので、確率変数x₁、X₂、X₃、X₄、 ………。バツ_n 対応する確率P（x₁）、P（x₂）、P（x₃）、P（x₄）、……….P（x_n）その後、分散は

例：ゲームでは、公正なサイコロが使用され、奇数の値がサイコロに当たるとプレーヤーが勝ち、賞金は20が来るとRs 1、40がRs 3、60がRs 5、そしてサイコロの他の面があればプレーヤーに10ルピーの損失が発生しました。分散と標準偏差で勝つことができる期待されるお金を見つけます。

溶液：

公正なサイコロについては、確率の分布を知っています。

X	1	2	3	4	5	6
P（X = x）	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6

標準偏差

Xを、次のように顔が来たときに勝ち負けたゲーム要件に従って、サイコロ変換の確率変数とします。

X	+20	-10	40	-10	60	-10
P（X = x）	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6	1 / 6

標準偏差

したがって、どのプレイヤーも獲得できると予想される金額は

E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

したがって、どのプレイヤーも勝つと予想される金額はμ= 15になります。

数学的期待値と分散の結果は、要件に応じてXNUMXつ以上の変数に対して一般化できます。

結論：

この記事では、主に離散確率変数、確率分布、および累積分布関数として知られる分布関数について説明しました。また、離散確率変数の数学的期待値そして、そのような離散確率変数の平均偏差、分散、標準偏差は、次の記事の適切な例の助けを借りて説明されます。さらに読みたい場合は、連続確率変数についても同じことを説明します。

数学の詳細については、これに従ってくださいリンク.

シャウムの確率と統計の概要

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability