共分散、合計の分散: 7 つの重要な事実 -

共分散、合計の分散、および確率変数の相関

確率変数の期待値の定義を使用したさまざまな性質の確率変数の統計パラメーターは、簡単に取得して理解できます。以下では、確率変数の数学的期待値を使用していくつかのパラメーターを見つけます。

発生するイベントの数の瞬間

これまでのところ、確率変数のさまざまな累乗の期待値は確率変数の瞬間であり、イベントの数がすでに発生している場合にイベントから確率変数の期待値を見つける方法であることがわかっていますが、イベントの数のペアの場合の期待値に関心がありますすでに発生しましたが、Xが発生したイベントの数を表す場合、イベントAの場合₁、₂、…。、A_n インジケーター変数Iを定義します_i as

これは、方程式のレンダリングされた形式です。これを直接編集することはできません。右クリックすると、画像を保存するオプションが表示されます。ほとんどのブラウザでは、画像をデスクトップまたは別のプログラムにドラッグできます。

離散的な意味でのXの期待値は

確率変数Xは

イベントのペアの数がすでに発生したかどうかの期待値を見つけるために、使用する必要があります組み合わせ as

これは期待を与えます

これから、x二乗の期待値と分散の値も次のようになります。

この議論を使用することにより、そのような瞬間を見つけるためにさまざまな種類の確率変数に焦点を当てます。

二項確率変数のモーメント

pがn回の独立した試行からの成功の確率である場合、Aを示します。_i 裁判のために私は成功したので

$E\left [ \binom{X}{2} \right ]= \sum_{i< j}^{} p^{2} = \binom{n}{2}p^{2}$

したがって、二項確率変数の分散なります

なぜなら

k個のイベントを一般化すると

$E[X(X-1) \cdot \cdot \cdot \cdot (X-k+1) ] =n(n-1) \cdot\cdot\cdot (n-k+1)p^{k}$

3より大きいkの値に対して連続的に取得できるこの期待値は、3について見つけます。

$E[X^{3} -3X^{2} +2X] =n(n-1)(n-2)p^{3}$

この反復を使用すると、次のようになります。

超幾何確率変数のモーメント

例の助けを借りて理解するこの確率変数の瞬間は、mが青であるN個のペンを含むボックスからn個のペンがランダムに選択されたと仮定します。_i i番目のペンが青であるイベントを示します。Xは選択された青ペンの数がイベントの数に等しいことを示しますA₁,A₂、…..、A_n これは、選択されたi番目のペンがmが青色のN個のペンのいずれにも等しくなる可能性があるために発生します

など

$E\left [ \binom{X}{2} \right ] =\sum_{i< j}^{}\frac{m(m-1)}{n(n-1)} =\binom{n}{2}\frac{m(m-1)}{n(n-1)}$

これは与える

したがって、超幾何確率変数の分散は次のようになります。

$= n(n-1)\frac{m(m-1)}{N(N-1)} +\frac{nm}{N} -\frac{n^{2}m^{2}}{N^{2}}$ $=\frac{nm}{N} \left [ \frac{(n-1)(m-1)}{N-1} +1 + -\frac{mn}{N} \right ]$

より高い瞬間のために同様の方法で

$E\left [ \binom{X}{k} \right ] = \binom{n}{k} \frac{m(m-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (m-k+1)}{N(N-1)\cdot \cdot \cdot \cdot (N-k+1)}$

それゆえ

負の超幾何確率変数のモーメント

nが特別でmが通常のn + mワクチンを含むパッケージの例を考えてみましょう。これらのワクチンは、一度にXNUMXつずつ除去され、新しい除去ごとに、パッケージに残っているワクチンのいずれかである可能性が等しくなります。ここで、確率変数Yが、合計r個の特殊ワクチンが除去されるまで撤回する必要のあるワクチンの数を示します。これは負の超幾何分布です。これは、超幾何分布に関して負の二項分布から二項分布に似ています。見つけるために確率 k-1回の接種がr-1の特別ワクチンとkrの通常のワクチンを接種した後、k回目の接種が特別なワクチンを接種した場合の質量関数

今度は確率変数Y

Y = r + X

イベントAの場合_i

$E[Y]=r+ m\frac{r}{n+1}=\frac{r(n+m+1)}{n+1}$

したがって、Yの分散を見つけるには、Xの分散を知る必要があります。

それゆえ

共分散

XNUMXつの確率変数XとYの共分散の定義が、確率変数XとYのXNUMXつの関数gとhの期待値がそれぞれ与えることを思い出す前に、XNUMXつの確率変数間の関係は統計パラメータ共分散によって表すことができます。

この期待値の関係を使用して、共分散を次のように定義できます。

「cov（X、Y）で表される確率変数Xと確率変数Yの間の共分散は、次のように定義されます。

期待値の定義を使用して拡張すると、

$=E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] +E[X]E[Y]$ $=E[XY] - E[X]E[Y]$

確率変数XとYが独立している場合、

しかし、その逆は、たとえば次の場合には当てはまりません。

確率変数Yを次のように定義します

ここでは明らかにXとYは独立していませんが、共分散はゼロです。

共分散の特性

確率変数XとYの間の共分散には、次のようないくつかの特性があります。

共分散からの定義を使用すると、最初のXNUMXつのプロパティは即時であり、XNUMX番目のプロパティは次のことを考慮して続きます。

今では定義上

合計の分散

これらのプロパティからの重要な結果は

$Var\left ( \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right ) =\sum_{i=1}^{n}Var(X_{i}) +2 \sum \sum_{i< j}^{} Cov(X_{i},X_{j})$

Xの場合_i はペアごとに独立している

例：二項確率変数の分散

Xが確率変数の場合

ここでX_i は、次のような独立したベルヌーイ確率変数です。

次に、パラメーターnとpを持つ二項確率変数Xの分散を見つけます。

溶液：

から

したがって、単一変数の場合、

したがって、分散は

例

独立確率変数Xの場合_i それぞれの平均と分散、および偏差が次のような新しい確率変数を使用します。

次に計算します

溶液：

上記のプロパティと定義を使用することにより、

$=\left ( \frac{1}{n} \right )^{2} \sum_{i=1}^{n} Var(X_{i}) \ \ by \ \ independence$

今度は確率変数Sについて

期待を持って

例：

イベントAとBのインジケーター関数の共分散を見つけます。

溶液：

イベントAおよびBの場合、インジケーター機能は次のとおりです。

したがって、これらの期待は

したがって、共分散は

例：

それを示す

ここでX_i 分散のある独立確率変数です。

溶液：

プロパティと定義を使用した共分散は次のようになります。

例：

実数で測定される特定の主題についてそれぞれが意見を持っているN人のセットの場合、n個のサンプル値の合計である確率変数Sの平均と分散を計算します。 v それは、その主題に対するその人の「感情の強さ」を表しています。しましょう人の気持ちの強さを表す不明ですが、情報を収集するために、Nからnのサンプルがランダムに取得され、これらのn人に質問され、viを計算するために彼らの感情が取得されます

世界

インジケーター関数を次のように定義しましょう