条件付き期待値:知っておくべき7つの事実

相互に依存する確率変数については、すでに説明した条件付き確率の計算が必要です。次に、このような確率変数のパラメーターや、さまざまなタイプの確率変数の条件付き期待値や条件付き分散などの実験について説明します。

条件付き期待値

   Yが与えられた離散確率変数Xの条件付き確率質量関数の定義は次のとおりです。

ここではpY(y)> 0なので、条件付き 離散確率変数の期待値 pY(y)>0が

上記の期待で 確率は条件付きです 確率。

  同様に、XとYが連続である場合、Yが与えられた確率変数Xの条件付き確率密度関数は次のようになります。

ここで、f(x、y)は同時確率密度関数であり、すべてのyfについてY(y)> 0であるため、yが与えられた確率変数Xの条件付き期待値は次のようになります。

すべてのyfY(y)> 0。

   私たちが知っているように、 確率の特性は条件付きに適用可能 条件付き期待値の場合も同じ確率で、数学的期待値のすべてのプロパティは条件付き期待値によって満たされます。たとえば、確率変数の関数の条件付き期待値は次のようになります。

条件付き期待値の確率変数の合計は次のようになります

二項確率変数の合計に対する条件付き期待値

    条件付きを見つけるには 二項確率変数の合計の期待値 パラメータnとpが独立しているXとYの場合、X + Yもパラメータ2nとpの二項確率変数になることがわかっているため、X + Y = mが与えられた確率変数Xの場合、条件付き期待値は次のように計算されます。確率

私たちはそれを知っているので

したがって、X + Y = mが与えられた場合のXの条件付き期待値は次のようになります。

例:

条件付き期待値を見つける

関節の場合 連続確率変数の確率密度関数 XとYは次のように与えられます

溶液:

条件付き期待値を計算するには、条件付き確率密度関数が必要です。

連続確率変数の場合、 条件付きの 期待は

したがって、与えられた密度関数の条件付き期待値は次のようになります。

条件付けによる期待値||条件付き期待値による期待値

                計算することができます 数学的期待 Yが次のように与えられたXの条件付き期待値の助けを借りて

離散確率変数の場合、これは次のようになります。

これは次のように取得できます

連続ランダムについても同様に示すことができます

例:

                重い荷物のために入り口が塞がれているため、地下の建物に閉じ込められています。幸い、3つのパイプラインがあり、最初のパイプから5時間後に安全に出て、7番目のパイプラインからXNUMX時間後に、XNUMX番目のパイプラインからXNUMX時間、これらのパイプラインのいずれかが彼によって同じように選択された場合、彼が安全に外に出ると予想される時間はどれくらいですか。

溶液:

Xを確率変数とし、人が無事に出て来るまでの時間を時間単位で示し、Yを最初に選択したパイプを示します。

から

人が5番目のパイプを選択した場合、彼はその中でXNUMXハウスを費やしますが、予想される時間で外に出ます

だから期待は

条件付き期待値を使用した確率変数の乱数の合計の期待値

                Nを確率変数の乱数とし、確率変数の合計は次のようになります。     その後、期待  

から

as

こうして

二変量分布の相関

二変量確率変数XおよびYの確率密度関数が

コラボレー

次に、密度関数を使用したXNUMX変量分布の確率変数XとYの間の相関は次のようになります。

相関は次のように定義されているため

条件付き期待値を使用した期待値は

正規分布の場合、Yが与えられた条件付き分布Xは平均を持ちます

Yが与えられた場合のXYの期待値は

これは与える

それゆえ

幾何分布の分散

    幾何分布では、確率pで成功する結果となる、連続して独立した試行を実行します。Nがこれらの連続で最初に成功した時間を表す場合、定義によるNの分散は次のようになります。

最初の試行が成功した場合は確率変数Y = 1、失敗した場合はY = 0とします。ここで数学的な期待値を見つけるために、条件付き期待値を次のように適用します。

から

成功が最初の試行である場合、N = 1およびN2= 1最初の試行で失敗が発生した場合、最初の成功を得るには、試行の総数は1と同じ分布になります。つまり、失敗につながる最初の試行に必要な追加の試行数を加えたものになります。

したがって、期待は

幾何分布の期待値は so

それゆえ

及び

E

したがって、幾何分布の分散は次のようになります。

一様確率変数のシーケンスの最小値の期待値

   一様確率変数のシーケンスU1、または2 …..区間(0、1)にわたって、Nは次のように定義されます。

次に、Nの期待値について、任意のx∈[0、1]に対してNの値

Nの期待値を次のように設定します

期待値を見つけるには、連続確率変数の条件付き期待値の定義を使用します

シーケンスの最初の項の条件付け  我々は持っている

ここで取得します

一様確率変数の残りの数は、最初の一様値がyである時点で同じであり、その後、それらの合計がx −yを超えるまで一様確率変数を追加しようとしていました。

したがって、この期待値を使用すると、積分の値は次のようになります。

この方程式を微分すると

及び

今これを統合すると

それゆえ

x = 1の場合のk = 0の値、つまり

m

m(1)= e、合計が0を超えるまで追加する必要がある、区間(1、1)での一様確率変数の期待数はeに等しくなります。

条件付き期待値を使用した確率|| 条件付けを使用した確率

   条件付き期待値で見つけた期待値のような条件付き期待値を使用して確率を見つけることもできます。これにより、イベントと確率変数Xを次のように考慮することができます。

この確率変数の定義と期待値から明確に

今、私たちが持っている何らかの意味での条件付き期待によって

例:

を計算する 確率質量関数 確率変数Xの、Uが区間(0,1)の一様確率変数である場合、U=pが与えられたXの条件付き分布をパラメーターnおよびpの二項分布と見なします。

溶液:

Uの値の場合、条件付けによる確率は次のようになります。

結果があります

だから私たちは得る

例:

X <Yの確率は何ですか、XとYが確率密度関数fを持つ連続確率変数である場合X そしてfY それぞれ。

溶液:

条件付き期待値と条件付き確率を使用する

as

例:

連続独立確率変数XとYの合計の分布を計算します。

溶液:

X + Yの分布を見つけるには、次のように条件付けを使用して合計の確率を見つける必要があります。

結論:

独立確率変数とさまざまな条件での同時分布を使用して説明されたこれらの確率変数のタイプのいくつかを考慮したさまざまな例を使用した離散確率変数と連続確率変数の条件付き期待値。例として、さらに読む必要がある場合は、以下の本を参照するか、確率に関する詳細については、 数学のページ.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

シェルドンロスによる確率の最初のコース

シャウムの確率と統計の概要

ROHATGIとSALEHによる確率と統計の紹介

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