条件付き分布:知っておくべき7つの興味深い事実

条件付き分布

   XNUMXつの確率変数が互いに満たす分布に従う場合の分布の条件付きケースについて説明することは非常に興味深いです。最初に、離散および連続の確率変数の両方の場合の条件付き分布を簡単に見てから、いくつかの前提条件を検討した後、条件付き期待値。

離散条件付き分布

     同時分布における同時確率質量関数の助けを借りて、確率質量関数を持つ分布としてYが与えられたXの条件付き確率を使用して、離散確率変数XおよびYの条件付き分布を定義します。

分母の確率がゼロより大きい場合、同様にこれを次のように書くことができます。

XとYが独立確率変数である場合、同時確率では、これは次のようになります。

したがって、Yが与えられた離散確率変数Xの離散条件付き分布または条件付き分布は、定義できるXが与えられたYに対して同様の方法で上記の確率質量関数を持つ確率変数です。

離散条件付き分布の例

  1. 見つける 確率変数の確率質量関数 確率変数XとYの同時確率質量関数が次のような値を持つ場合、Y=1が与えられたX

p(0,0)= 0.4、p(0,1)= 0.2、p(1,0)= 0.1、p(1,1)= 0.3

まず、値Y = 1の場合は次のようになります。

したがって、確率質量関数の定義を使用します

我々は持っている

及び

  • X + Y = nが与えられた場合、Xの条件付き分布を取得します。ここで、XとYは、パラメーターλのポアソン分布です。1 およびλ2 XとYは独立した確率変数です

確率変数XとYは独立しているため、条件付き分布は次のような確率質量関数を持ちます。

ポアソン確率変数の合計が再びポアソンであるため、

したがって、上記の確率質量関数を持つ条件付き分布は、そのようなポアソン分布の条件付き分布になります。 上記のケースは、XNUMXつ以上の確率変数に対して一般化できます。

連続条件付き分布

   すでに定義されているyが与えられた確率変数Xの連続条件付き分布は、確率密度関数を使用した連続分布です。

分母の密度がゼロより大きい場合、連続密度関数の場合は次のようになります。

したがって、このような条件付き密度関数の確率は次のようになります。

XとYが連続で独立している場合、離散の場合と同様に、

それゆえ

だから私たちはそれを次のように書くことができます

連続条件付き分布の例

  1. 開区間(0,1)の同時確率密度関数が次の式で与えられる場合、Yが与えられた確率変数Xの条件付き密度関数を計算します。

(0,1)内のYが与えられた確率変数Xの場合、上記の密度関数を使用すると、次のようになります。

  • 条件付き確率を計算する

同時確率密度関数が次の式で与えられる場合

最初に条件付き確率を見つけるには、条件付き密度関数が必要なので、定義によれば、次のようになります。

現在、この密度関数を確率で使用しています 条件付き確率 is

二変量正規分布の条件付き分布

  パラメータとしてのそれぞれの平均と分散を持つ正規確率変数XとYのXNUMX変量正規分布には、同時確率密度関数があることがわかっています。

条件付き分布
条件付きの 二変量正規分布 ディストリビューション

したがって、Yが与えられたXのそのような二変量正規分布の条件付き分布を見つけるには、連続確率変数の条件付き密度関数と上記の同時密度関数に従うことによって定義されます。

条件付き分布
二変量正規分布の条件付き分布

これを観察することにより、これは平均値で正規分布していると言えます。

と分散

同様に、Xがすでに定義されている場合のYの条件付き密度関数は、Xのパラメーターの位置をYと交換するだけです。

Xの周辺密度関数は、定数の値を使用して上記の条件付き密度関数から取得できます。

条件付き分布
二変量正規分布の条件付き分布

積分で置き換えましょう

密度関数は次のようになります

の合計値以来

確率の定義により、密度関数は次のようになります。

これは、パラメーターとして通常の平均と分散を持つ確率変数Xの密度関数に他なりません。

確率変数の関数の同時確率分布

  これまでのところ、XNUMXつの確率変数の同時確率分布がわかっています。このような確率変数の関数がある場合、それらの関数の同時確率分布はどうなるでしょうか。実際の状況では、密度と分布関数を計算する方法がわかります。確率変数の関数を持っている、

Yの場合1 そしてY2 確率変数Xの関数です1 とX2 それぞれ共同で連続である場合、これらXNUMXつの関数の共同連続密度関数は次のようになります。

コラボレー ヤコビアン

そしてY1 =g1 (X1、 バツ2)およびY2 =g2 (X1、 バツ2)一部の関数の場合g1 そして、g2 。 ここでg1 そして、g2 ヤコビアンの条件を連続として満たし、連続偏導関数を持ちます。

これで、確率変数のそのような関数の確率は次のようになります。

確率変数の関数の同時確率分布の例

  1. 確率変数Yの同時密度関数を見つけます1 =X1 +X2 そしてY2=X1 -X2 、ここでX1 とX2 は、同時確率密度関数との同時連続です。 また、配布のさまざまな性質についても話し合います。

ここでは、最初にヤコビアンをチェックします

g以来1(x1、X2)= x1 + ×2  そして、g2(x1、X2)= x1 - バツ2 so

Yを単純化する1 =X1 +X2 そしてY2=X1 -X2 、Xの値1 = 1/2(Y1 +Y2 )およびX2 = Y1 -Y2 ,

これらの確率変数が独立した一様確率変数である場合

または、これらの確率変数が通常のパラメーターを持つ独立した指数確率変数である場合

または、これらの確率変数が独立した正規確率変数である場合は、

  • XとYが与えられた独立した標準正規変数である場合
条件付き分布

それぞれの極座標の同時分布を計算します。

通常の変換XとYをrとθに変換します。

したがって、これらの関数の偏導関数は次のようになります。

したがって、この関数を使用するヤコビアンは

確率変数XとYの両方がゼロより大きい場合、条件付き同時密度関数は次のようになります。

を使用してデカルト座標を極座標に変換するようになりました

したがって、確率密度 function 正の値の場合は

別ののために 組み合わせ XとYの密度関数は、同様の方法で次のようになります。

上記の密度の平均から、密度関数を次のように表すことができます。

区間(0、2π)にわたる極座標のこの同時密度からの周辺密度関数

  • 確率変数の関数の同時密度関数を見つけます

U = X + YおよびV = X /(X + Y)

ここで、XとYは ガンマ分布 それぞれパラメータ(α+λ)と(β+λ)を使用します。

の定義を使用する ガンマ分布 同時分布関数と確率変数XおよびYの密度関数は次のようになります。

与えられた関数を次のように考えます

g1 (x、y)= x + y、g2 (x、y)= x /(x + y)、

したがって、これらの機能の差別化は

今、ヤコビアンは

与えられた方程式を単純化した後、変数x = uvおよびy = u(1-v)確率密度関数は次のようになります。

関係を使用できます

  • の結合確率密度関数を計算します

Y1 =X1 +X2+ X3 は、Y2 =X1- バツ2 は、Y3 =X1 - バツ3

ここで、確率変数X1、X2、X3が標準です。 正規確率変数.

ここで、の偏導関数を使用してヤコビアンを計算しましょう。

Y1 =X1 +X2+ X3 は、Y2 =X1- バツ2 は、Y3 =X1 - バツ3

as

変数Xの単純化1 、 バツ2 とX3

X1 =(Y1 +Y2 +Y3)/ 3、X2 =(Y1 – 2年2 +Y3)/ 3、X3 =(Y1 +Y2 -2年3)/ 3

同時密度関数を次のように一般化できます。

だから私たちは持っています

正規変数の場合、同時確率密度関数は次のようになります。

それゆえ

ここで、インデックスは

Yの同時密度関数を計算します1 ……yn Yの周辺密度関数n コラボレー

とXi パラメータλを持つ独立同分布の指数確率変数です。

フォームの確率変数の場合

Y1 =X1 は、Y2 =X1 + X2 、……、Yn =X1 +……+ Xn

ヤコビアンは次の形式になります

したがって、その値はXNUMXであり、指数確率変数の同時密度関数です。

および変数Xの値i のになります

したがって、同時密度関数は次のようになります。

ここで、Yの周辺密度関数を見つけますn XNUMXつずつ統合します

及び

賢いように

このプロセスを続けると、

これは周辺密度関数です。

結論:

世界 条件付き分布 独立確率変数が重要な役割を果たす、説明したこれらの確率変数のタイプのいくつかを考慮したさまざまな例を使用した離散確率変数と連続確率変数の場合。 さらにジョイント 結合連続確率変数の関数の分布 また、適切な例で説明されています。さらに読む必要がある場合は、以下のリンクを参照してください。

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