チェビシェフの不等式と中心極限定理に関する13の事実

確率論では、 チェビシェフの不等式 &中心極限定理は、ほぼ正規状態の多数の確率変数の合計の確率分布を見つけたい状況を扱います。極限定理を見る前に、いくつかの不等式を確認します。これにより、確率の限界が提供されます。平均と分散は既知です。

マルコフの不等式

a> 0に対して正の値のみを取る確率変数Xのマルコフの不等式は、次のとおりです。

これを> 0で証明するには、検討してください

Since

今、私たちが得るこの不平等を期待しています

その理由は

これは、a> 0のマルコフの不等式を次のように与えます。

チェビシェフの不等式

 有限のために 確率変数Xの平均と分散チェビシェフの不等式 k>0の場合は

ここで、シグマとミューは確率変数の分散と平均を表します。これを証明するために、 マルコフの不等式 非負の確率変数として

一定の二乗としてのaの値、したがって

この方程式は次の式と同等です。

はっきりと

マルコフとチェビシェフの不等式の例:

  1. 特定のアイテムの生産が平均50の週の確率変数と見なされる場合、75週間に40を超える生産の確率を見つけ、その週の生産が60から25の間である場合の確率は、その分散を提供するとどうなりますか。週はXNUMXですか?

解決策:75週間のアイテムの生産の確率変数Xを検討してから、XNUMXを超える生産の確率を見つけます。 マルコフの不等式 as

ここで、分散40で60から25の間の生産の確率を使用します。 チェビシェフの不等式 as

so

これは、生産が40から60の間である場合の週の確率が3/4であることを示しています。

2.次のことを示します チェビシェフの不等式 確率の上限を提供するものは、確率の実際の値に特に近いわけではありません。

溶液:

確率変数Xが、区間(5)にわたって平均25と分散3/0,1で一様分布していると考えてください。 チェビシェフの不等式 我々は書ける

しかし、実際の確率は

これは、確率変数Xを平均と分散で正規分布している場合と同様に、実際の確率からはほど遠いものです。 チェビシェフの不等式 なります

しかし実際の確率は

大数の法則

確率変数のシーケンスの弱い法則の後に、次のような結果が続きます。 チェビシェフの不等式 たとえば証明するための証明のためのツールとして使用することができます

分散がゼロの場合、分散が0に等しい唯一の確率変数は、確率1で一定である確率変数です。 チェビシェフの不等式 1以上のnの場合

as

確率の連続性によって

結果を証明します。

これを証明するために、シーケンス内の各確率変数の分散も有限であると仮定します。したがって、期待値と分散は

今から チェビシェフの不等式 としての確率の上限

無限大になりがちなnの場合は

中心極限定理

世界 中心極限定理 は、確率論における重要な結果のXNUMXつです。これは、ほぼ正規分布である多数の合計に分布を与えるためです。 ディストリビューション 独立したランダム変数の合計の近似確率を見つける方法に加えて、中心極限定理は、非常に多くの自然集団の経験的頻度が釣鐘型の平均正規曲線を示すことも示しています。この定理の詳細な説明を行う前に、結果を使用します。

「確率変数のシーケンスZ1,Z2、…。 分布関数とモーメント母関数をFとして持つZn そしてMzn その後

中心極限定理:同一分布で独立した確率変数のシーケンスX1,X2、……。 それぞれが平均μと 分散σ2そして合計の分布

aが実数値になるために、nは無限大になる傾向があるため、標準正規分布になる傾向があります。

証明:結果を証明するには、平均をゼロ、分散をXNUMXと見なします。 μ= 0& σ2=1 と モーメント発生機能 Xの場合i 存在し、有限値であるため、確率変数Xのモーメント母関数i/√nは

和ΣXのモーメント母関数i/√nは

ここで、L(t)= logM(t)を取りましょう。

so

私たちが最初に示す証拠を示すために

同等の形式を示すことによって

から

したがって、これは平均ゼロと分散1の結果を示しています。これと同じ結果は、一般的な場合にも次のようになります。

そしてそれぞれのために私達は持っています

中心極限定理の例

天文学者の実験室から星の光年の距離を計算するために、彼はいくつかの測定技術を使用していますが、測定される距離は正確ではなく、いくつかの誤差があるたびに大気が変化するため、彼が計画している正確な距離を見つけるために連続して連続的に観察し、これらの距離の平均を推定距離として観察します。測定値が同じように分布し、平均dと分散が4光年の独立したランダム変数であると考える場合、0.5エラーを取得するために実行する測定数を見つけます。推定値と実際の値で?

解決策:測定値をシーケンスXの独立確率変数と見なしましょう1,X2、……。NSn だからによって 中心極限定理 我々は書ける

これは標準への近似です 正規分布 したがって、確率は次のようになります

したがって、95%で測定の精度を得るには、天文学者はn *の距離を測定する必要があります。

したがって、正規分布表から次のように書くことができます。

これは、測定を62回行う必要があることを示しています。これは、 チェビシェフの不等式 取ることによって

したがって、不平等は結果として

したがって、n = 16 / 0.05 = 320の場合、観測ラボからの星の距離の測定には5%の誤差しかないことが確実になります。

2.工学部の入学者数は平均100人のポアソン分布であり、120人以上の場合はXNUMXつのセクションで、それ以外の場合はXNUMXつのセクションでのみ授業を行うことが決定されました。コースのXNUMXつのセクションになりますか?

解決策:ポアソン分布に従うことにより、正確な解決策は次のようになります。

これは明らかに特定の数値を与えるものではありません。確率変数Xを学生が認めたものと見なすと、 中心極限定理

することができる

これは数値です。

3.転がされたときの30ダイの合計が、40から30を含めて40からXNUMXの間である確率を計算しますか?

解決策:ここでは、ダイをXと見なしますi iのXNUMX個の値に対して。 平均と分散は次のようになります

したがって、 中心極限定理 我々は書ける

これは必要な確率です。

4.一様分布の独立確率変数Xの場合i 区間(0,1)で、確率の近似値はどうなりますか

解決策:Unifrom分布から、平均と分散は次のようになることがわかります。

今使用している 中心極限定理 私たちはできる

したがって、確率変数の合計は14パーセントになります。

5.平均25分、標準偏差450分で採点時間が独立している試験が50ある場合、試験の評価者が20分から4試験になる確率を求めます。

解決策:確率変数Xで試験を採点するのに必要な時間を考慮してくださいi したがって、確率変数Xは次のようになります。

25試験のこのタスクは450分以内なので

ここでは 中心極限定理

これは必要な確率です。

独立確率変数の中心極限定理

同一分布ではないが独立確率変数Xを持つシーケンスの場合1,X2、……。 それぞれが平均μと分散を持っています σ2 それが満たすならば

  1. 各Xi 一様有界性
  2. 分散の合計は無限大であり、

大数の法則

大数の強い法則は、 確率論 これは、確率XNUMXで共通に分布する確率変数のシーケンスの平均が、同じ分布の平均に収束することを示しています

ステートメント:同じシーケンスの場合 配布 および独立確率変数X1,X2、……。 それぞれが確率XNUMXの有限平均を持っています

証明:これを証明するために、確率変数のそれぞれの平均がゼロであり、級数がゼロであると考えます。

今これのためにこれの力を次のように考えてください

右側の用語の拡張を行った後、フォームの用語があります

これらは独立しているので、これらの平均は

ペアの組み合わせの助けを借りて、シリーズの拡張は今

から

so

我々は得る

これは不平等を示唆している

それゆえ

各確率変数の確率はXNUMXであるため、系列の収束によって

から

各確率変数の平均がゼロに等しくない場合、偏差と確率がXNUMXの場合、次のように記述できます。

or

これは必須の結果です。

片側チェビシェフの不等式

a> 0の場合、平均がゼロで分散が有限である確率変数Xの片側チェビシェフ不等式

チェビシェフの不等式
チェビシェフの不等式

これを証明するために、b> 0について、確率変数Xを次のように考慮します。

与える

だから使用して マルコフの不等式

チェビシェフの不等式
片面チェビシェフ

これは必要な不等式を与えます。 平均と分散については、次のように書くことができます。

これはさらに次のように書くことができます

例:

この特定の会社の生産が平均120で分散が100である場合、ランダムに分布する会社の生産が少なくとも400になる確率の上限を見つけます。

溶液:

片面を使用する chebyshevの不平等

したがって、これにより、少なくとも120が1/2である、XNUMX週間以内の生産の確率が得られます。この確率の限界は、次を使用して取得されます。 マルコフの不等式

これは確率の上限を示しています。

例:

百組は、百人の男性と百人の女性を持つXNUMX人から取られ、最大でXNUMX組が男性と女性で構成される確率の上限を見つけます。

溶液:

確率変数Xi as

したがって、ペアは次のように表すことができます

すべての男性は、XNUMX人が女性である残りの人々と等しくペアになる可能性が高いので、平均

同じように、iとjが等しくない場合

as

したがって、

チェビシェフの不等式

これは、30人の男性と女性をペアにする可能性がXNUMX未満であることを示しています。したがって、を使用することで限界を改善できます。 片側チェビシェフの不等式

チェルノフバウンド

モーメント母関数がすでにわかっている場合

as

同じように、t <0に対して次のように書くことができます。

したがって、チェルノフ境界は次のように定義できます。

この不等式は、正または負のtのすべての値を表します。

標準正規確率変数のチェルノフ境界

チェルノフは標準の限界 正規確率変数 そのモーメント母関数

is

したがって、この不等式と右側の電力項を最小化すると、> 0になります。

そしてa <0の場合は

ポアソン確率変数のチェルノフ境界

モーメント母関数を持つポアソン確率変数のチェルノフ境界

is

したがって、この不等式と右側の電力項を最小化すると、> 0になります。

そしてそれは

チェルノフ境界の例

ゲームで、プレーヤーが過去のスコアに関係なくゲームに勝つか負ける可能性が同等である場合は、確率の限界を見つけます。

解決策:Xi プレーヤーの勝利を示す場合、確率は次のようになります。

n回のプレイのシーケンスについて

したがって、モーメント母関数は次のようになります。

ここでは、指数項の展開を使用します

だから私たちは持っています

モーメント母関数のプロパティを適用しています

これは不平等を与えます

それゆえ

結論:

多数の不等式と極限定理が議論され、確率の限界の正当な例も取り上げられて、アイデアが垣間見られました。また、通常のポアソン確率変数とモーメント母関数の助けを借りて、コンセプトは簡単です。さらに読む必要がある場合は、以下の本を読んだり、確率に関する記事をもっと読んだりしてください。 数学のページ.

シェルドンロスによる確率の最初のコース

シャウムの確率と統計の概要

ROHATGIとSALEHによる確率と統計の紹介

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