二項およびポアソン確率変数とその特性
n回の繰り返しのランダム実験の成功と失敗の結果を扱う確率変数は二項確率変数であることが知られていました。その確率質量関数の定義は成功の確率pと失敗の確率qのみを扱います。定義は例を使用します。すでに見てきましたが、理解すると、そのような離散確率変数のいくつかの特性がわかります。
二項確率変数の期待値と分散
成功の確率としてn回の繰り返しとpを持つ二項確率変数の期待値と分散は次のとおりです。
E [X] = np
およびVar（X）= np（1-p）
ここで、次の定義に従って、これらXNUMXつのパワーkの確率変数の期待値を示すことを検討してください。 確率質量関数 二項確率変数の場合、
ここで、Yはn-1回の試行で、pが成功の確率である別の二項確率変数です。k= 1の値をとると、次のようになります。
E [X] = np
k = 2に置き換えると、次のようになります。
E [X2] = npE [Y + 1]
= np [（n-1）p + 1]
簡単に取得できます
Var（X）= E [X2] –（E [X]）2
= np [（n-1）p + 1]-（np）2
= np（1-p）
例： 偏りのないコインの場合は、100回投げる実験を行い、この場合に表示されるテールの数について、そのような実験の平均、分散、および標準偏差を見つけます。
1回のトスのテールには成功の確率がありますp = 2/0.5 = XNUMX
したがって、そのような実験の平均は
E [X] = np
実験は成功または失敗のみとして二項分布であるため、n回の繰り返しで得られます
μ= npのように
μ= 100x（0.5）= 50
同様に、分散と標準偏差は次のようになります。
Var（X）= np（1-p）
σ2= np(1-p)
値は
σ2 =（100）（0.5）（0.5）= 25
例： 0.1本のボルトのロットからボルト製造会社の400個の欠陥の確率の平均と標準偏差を求めます。
ここでn = 400、p = 0.1、平均= np = 400×0.1 = 40
から
σ2= np(1-p)
したがって、標準偏差は
例： 見つける 確率 二項確率変数の平均と標準偏差がそれぞれ2と4の場合、正確には2回未満と少なくともXNUMX回の成功です。
平均= np = 4なので
および分散 = np(1-p) = 2、
だから 4(1-p)=2
（1-p）= 1/2
p = 1-（1/2）
この値を平均に入れると、
np = 4
n（1/2）= 4
N = 8
正確に2回成功する確率は
2回未満の成功の確率は
p（X <2）
= P（0）+ P（1）= 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7
=（1/256）+8 x（1/2）x（1/2）7 = 9 / 256
少なくとも2回の成功の確率
p（X> 2）= 1- p（X <2）
= 1-P（0）– P（1）= 1- [P（0）+ P（1）] = 1-（9/256）= 247/256
ポアソン確率変数
値0,1,2……..を取る離散確率変数Xは、任意のλ> 0に対して提供されるポアソン確率変数であることが知られています。その確率質量関数は次のようになります。
or
as
nが非常に大きく、成功確率pが非常に小さい場合、その確率質量関数を持つポアソン確率変数は、それぞれのpmfでの二項確率変数の近似になります。これは、この場合のnpである期待値が中程度であり、 λ= npである .
例： 単一ページの平均が1/2のポアソン分布を持つ本の各ページに少なくともXNUMXつの入力エラーがある確率を見つけます。
離散確率変数Xがページ上のエラーを表すとします。 したがって、ポアソン確率変数は、次のような確率質量関数を持ちます。
λ = 1/2
例： 製造不良の可能性が10のマシンで製造された0.1個のアイテムのサンプルに、最大でXNUMX個の不良品がある確率を求めます。
これは、二項確率質量関数とポアソン確率質量関数の両方で解くことができるので、ポアソンで解きます。
ポアソン確率変数の期待値と分散
成功の確率としてn回の繰り返しとpを持つポアソン確率変数の期待値と分散は次のとおりです。
E [X] = np =λ
及び
Var（X）= np =λ
結果を示す前に、ポアソン確率変数は二項確率変数の近似値にすぎないことを覚えておく必要があるため、np= λ は、確率質量関数を使用することによる期待値は次のようになります。
これは、ポアソン確率変数の数学的な期待値がそのパラメーターに等しいことを意味します。同様に、ポアソン確率変数の分散と標準偏差を計算するには、XのXNUMX乗の期待値が必要です。
上記の合計は、XNUMXつの合計が期待値と確率の合計であるため、明らかです。
したがって、取得する分散の値は次のようになります。
Var（X）= E [X2] –（E [X]）2
=λ
したがって、ポアソン確率変数の場合、平均と分散は同じ値、つまりパラメーターとしてnpを持ちます。
世界 ポアソン確率変数 は、さまざまなプロセスを見つけるのに適した近似です。たとえば、特定の期間内の地震の発生数を見つける、熱陰極から一定時間内の電子数を見つける、指定された時間内に発生する可能性のある死者数を見つける、または数特定の年内の戦争など
例 ：2日間の乗客の総数が5未満になる確率を計算します。平均5の乗客の到着数がポアソン確率変数に従う場合。 平均= np = XNUMX
2日間の乗客数をXNUMX未満とすると、
| 初日 | 二日目 | 合計で |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
したがって、確率は 組み合わせ このXNUMX日間の
=e-10[1+5+5]
=11e-10
= 114.5410-5
= 4.994 * 10-4
例：コンデンサーの製造上の欠陥が4％である場合、100個のコンデンサーのパックから1個以上のコンデンサーの故障の確率を計算します。
ここで、p = 1％= 0.01およびn = 100 * 0.01 = 1
したがって、ポアソン確率変数確率質量関数PMFを使用できます。
平均= np = 100 * 0.01 = 1
したがって、4つ以上のコンデンサーが故障する可能性は次のようになります。
=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]
例：製造時に製品に欠陥がある可能性が0.002ある場合、そのような製品が10個含まれているパックの場合、50000の委託品から、そのようなパケットに欠陥がない、XNUMXつが欠陥がある、XNUMXつが欠陥がある確率はどれくらいですか。同じ製品のパケット。
ここでは、0.002 パックの不良確率、つまり p=10、n=XNUMX の場合
平均 np=0.002*10= 0.020
それぞれの場合について、
したがって、表から、パケット4900,980,10、XNUMX、およびXNUMXの欠陥ブレードの数はそれぞれXNUMX、XNUMX、XNUMXになることが明らかです。
結論：
この記事では、次のいずれかのプロパティについて説明しました。 二項確率変数, ポアソン確率変数 とランダム実験。 また、もうXNUMXつの離散確率変数、つまりポアソン確率変数について、プロパティで説明します。 理解を深めるために、確率質量関数、期待値、分散、標準偏差の例の分布も取り上げました。次の記事では、さらに読みたい場合は、さらに離散確率変数について説明します。 数学のページ.
シャウムの確率と統計の概要
